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Hyperbel

Die sogenannte Hyperbel kommt in der ebenen Geometrie zum Einsatz und verkörpert eine Kurve, die aus zwei zueinander symmetrisch stehenden Ästen besteht. Grundsätzlich erstrecken sich diese Äste ins Unendliche.

Fragen zur Hyperbel

1. Zu welchem Schnittmodell zählt die Hyperbel?

   Ähnlich wie auch der Kreis, die Ellipse oder die Parabel zählt die Hyperbel zu den sogenannten Kegelschnitten. Diese Schnitte entstehen immer dann, wenn ein gerader Kreiskegel in einer definierten Ebene geschnitten wird.

2. Was bedeutet der Name Hyperbel?

   Erstmals entdeckt wurde die Hyperbel im alten Griechenland, daher stammt der Name auch aus dem Griechischen und bedeutet ins Deutsche übersetzt soviel wie „Übertreibung eines Schnittwinkels“.

3. Welches ist das Grundmerkmal der Hyperbel bezüglich des Schnittmodells?

   Eine Hyperbel zeichnet sich dadurch aus, dass hierbei der Schnittwinkel an einem geraden Kreiskegel quasi ins Unendliche gedehnt wurde. Vom ursprünglichen Kreis geht dieser Schnittwinkel zunächst in immer länglichere Ellipsen und schließlich in eine Parabel über. Diese Parabel verwandelt sich dann mit weiter zunehmendem Schnittwinkel in eine Hyperbel.

4. Wie bestimmt sich der Mittelpunkt einer Hyperbel?

   Der Mittelpunkt einer Hyperbel wird mit dem Buchstaben m abgekürzt. Er ist gleichzeitig auch der Mittelpunkt der sogenannten Brennpunkte.

5. Was ist die Hauptachse einer Hyperbel?

   Zieht man eine Verbindungsgerade zwischen den Brennpunkten, so entsteht daraus die Hauptachse der Hyperbel.

6. Wie bezeichnet man den Abstand der Brennpunkte zum Mittelpunkt einer Hyperbel?

   Den Abstand von den Brennpunkten zum Mittelpunkt der Hyperbel bezeichnet man als Brennweite oder - in der Fachsprache - als lineare Exzentrizität. Der entsprechende Wert wird mit dem Buchstaben e angegeben.

7. Wann enthält der Schnitt eines geraden Kreiskegels nicht die Kegelspitze?

   Wenn der Schnitt eines geraden Kreiskegels steiler als die Mantellinie des Kegels ist, enthält er die Kegelspitze nicht. Trotzdem ergibt sich aus diesem Schnitt eine Hyperbel.

8. Was ist der Halbparameter?

   Betrachtet man die halbe Länge der Sehne einer Hyperbel, die senkrecht zur Hauptachse verläuft und durch einen Brennpunkt geht, so nennt man dieses Maß den Halbparameter. Teilweise wird er auch als Quermaß der Hyperbel bezeichnet.

9. Wann gilt eine Hyperbel als gleichseitige Hyperbel?

   Stehen die Asymptoten einer Hyperbel senkrecht aufeinander, ergibt sich daraus der Ausdruck „gleichseitige Hyperbel“.

10. Wann ergibt sich für das Schnittbild einer Hyperbel eine Schnittkurve?

    Immer dann, wenn man einen senkrechten Kreiskegel so schneidet, dass die Neigung der Schnittebene kleiner als die Neigung der Mantellinien des Kegels ist, ergibt sich als Schnittbild daraus eine Schnittkurve. Hierbei geht der Schnitt auch nicht durch die Kegelspitze.

11. Wann erhält man im Koordinatensystem alle Formen einer Hyperbel?

    Im Koordinatensystem erhält man alle Formen einer Hyperbel, wenn man in x² / a²-y² / b² = 1 für a und b sämtliche (positiven) reellen Zahlen einsetzt.

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