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e-Funktion

Die e-Funktion oder auch Exponentialfunktion ist in der Mathematik eine Funktion mit der Form x → ax inklusive einer reellen Zahl a > 0 und als Basis a ≠ 1 (Grundzahl). In der üblichen Form sind hierbei für den Exponenten x reelle Zahlen erlaubt. Bei der Exponentialfunktion ist der Exponent (auch Hochzahl) des Potenzausdrucks die Variable und die Basis ist fest vorgegeben.

Was bedeutet Exponentiell?

Der in der Mathematik und ebenso in der Physik und der Chemie verwendete Begriff Exponentiell bezieht sich auf das stark zu- oder abnehmende Wachstum von Mengen. Dabei beschreibt „exponentielles Wachstum“ eine starke Zunahme und „exponentielle Annäherung“ eine starke Abnahme der Menge. „Exponentielle Annäherung“ deshalb, weil in beiden Fällen, zu- und Abnahme, eine Basiszahl zugrunde liegt, der sich bei Abnahme wieder angenähert wird. Ein gutes Beispiel hierfür ist die stetige Verdoppelung einer Zahl, etwa 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 usw. Hier ist die Basis die 1, wobei schon nach 10 Verdoppelungen die Zahl 512 und weiteren 10 Verdoppelungen die Zahl 524.288 erreicht ist.

Die Exponentialfunktion hat zum Beispiel in der mathematischen Beschreibung des Wachstumsprozesses eine signifikante Bedeutung. Die Exponentialfunktion im engeren Sinne (genauer gesagt die natürliche Exponentialfunktion) ist die e-Funktion x→ex, basierend auf Eulers Zahl e = 2.718 281 828 828 ... Hier wird auch x→exp (x) verwendet. Im Vergleich zu anderen Exponentialfunktionen hat diese Funktion spezielle Eigenschaften. Mit natürlichen Logarithmen können Sie die Gleichung ax = ex'In a verwenden, um jede Exponentialfunktion auf die Basis e zu reduzieren. Manchmal wird im Deutschen zwischen Exponentialfunktion (allgemein) und der Exponentialfunktion basierend auf e, unterschieden.

Die Definition der e-Funktion

Die Exponentialfunktion zur Basis e kann auf verschiedene Arten auf reellen Zahlen definiert werden. Eine Möglichkeit ist die Exponentialreihe, eine Potenzreihe.

e-Funktion

Hier bedeutet n! die Fakultät von n.

Die reelle e-Funktion exp: ℝ → ℝ > 0 verhält sich stetig positiv, streng monoton wachsend und surjektiv.

Rechenregel zur e-Funktion

In der e-Funktion wird die Voraussetzung der Funktionalgleichung erfüllt: exp(x + y) = exp(x) * exp(y). So kann mit ihrer Hilfe das Potenzieren auf komplexe und reelle Exponenten mit folgender Definition verallgemeinert werden:

ax :=exp(x*In a)

bezogen auf a>0 sowie alle komplexen und reellen x.

Verwendung der e-Funktion

Wie bereits erwähnt, erstreckt sich das Anwendungsfeld der e-Funktion weit über die reine Mathematik hinaus. Überall, wo es darum geht, exponentielles Wachstum zu berechnen, kommt die e-Funktion ins Spiel, dazu gehören:

In der Physik der radioaktive Zerfall von Teilchen, der Luftdruckverlauf in der Atmosphäre, siehe die barometrische Höhenformel, die Berechnung zeitlicher Ladungskurven eines elektrischen Kondensators, die Berechnung zeitlicher Energiekurven beim Einschaltvorgang einer Spule durch Selbstinduktion, in der Thermodynamik und Statistik der Boltzmann-Faktor, die Fermi-Dirac- und die Bose-Einstein-Statistik oder die Abkühlung und Erwärmung eines Körpers. In der Chemie beispielsweise der Verlauf chemischer Reaktionen, in der Biologie die Vermehrungsrate von Mikroorganismen und auch in der Stochastik oder der Wirtschaft ist die e-Funktion hilfreich.

Fragen und Aufgaben zur e-Funktion

  1. Damit sich ein Betrag von 1000 Euro in 10 Jahren verdreifacht, welcher Prozentsatz wird dazu benötigt?

    Antwort: ≈ 11,6 %

  2. In einer Probe gab es anfänglich 1000 Bakterien. Wie viele Bakterien sind es in 10 Minuten, wenn nach 3 Minuten 3375 Bakterien vorhanden sind?

    Antwort: f(10) = 1000 * 1,510 ≈ 57665
    Nach 10 Minuten sind es ungefähr 57665 Bakterien

  3. Im Jahr 2011 besaßen 1 Million Menschen das Smartphone xy, im Jahr 2015 waren es 2,0736 Menschen. Wie viele werden es im Jahr 2021 sein?

    Antwort:
    Das Jahr 2011 ist gleich 0, das Jahr 2015 ist gleich 4 und das Jahr 2021 gleich 10
    f(x) = 1 * ax = ax
    f(x) = a4 = 2,0736      |4
    a = 1,2
    f(x) = 1,2x
    f(10) = 1,210 ≈ 6,19 Millionen Handy xy Besitzer im Jahr 2021

  4. Ein Auto kostete 40.000 Euro und ist zwei Jahre nach Neukauf noch 28.900 Euro wert, nach 5 Jahren noch 17.748,21 Euro. Wie hoch ist sein Wert nach 10 Jahren?

    Antwort:
    a3 = 17748,21 / 28900     |3
    a3 ≈ 0,85
    f(10) = 40.000 * 0,8510 ≈ 7874,98 Euro

  5. Eine Geschichte wird herum erzählt. 10 Menschen geben sie täglich an je 3 weitere Personen weiter. Wann kennen 810 Menschen die Geschichte?

    Antwort:
    a = 10
    b = 3
    f(x) = 100 * 3x
    10 * 3x = 810     | : 10
    3x = 81     | log3 () x = log3  (81) = 4
    Nach 4 Tagen kennen 810 Menschen die Geschichte


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