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Winkelsummensätze

In der Geometrie als Teilgebiet der Mathematik besitzen Winkelberechnungen eine große Bedeutung. Mithilfe von Winkelsummensätzen lassen sich bestimmte geometrische Figuren erkennen. Das beste und wohl bekannteste Beispiel für einen Winkelsummensatz ist die Erkenntnis, dass die Innenwinkel eines Dreiecks zusammen immer 180^° ergeben. Die Formel dazu lautet:

(n x 180^°) – 360^° = (n – 2) x 180^°

oder

α + β + γ = 180^°

Die drei klein geschriebenen griechischen Buchstaben alpha, beta und gamma bezeichnen hierbei die Innen-Winkel des Dreiecks. Die drei Großbuchstaben A, B und C bezeichnen die Ecken. Die drei klein geschriebenen Buchstaben a, b, und c bezeichnen die Längen, Seiten oder Strecken des Dreiecks.

Kommt jeweils ein Winkel hinzu, also aus dem Dreieck wird ein Viereck, vergrößert sich die Winkelsumme um jeweils 180^°.

Vierecke (n = 4): (n-2) x 180^° = (4-2) x 180^° = 360^°

Fünfecke (n = 5): (n-2) x 180^° = (5-2) x 180^° = 540^°

Der obige Winkelsummensatz bezieht sich grundsätzlich auf die euklidische Geometrie, die bis zu einem gewissen Grad bis heute ihre Gültigkeit besitzt. Allerdings sind diese Winkelsummensätze auf viele Bereiche der modernen Geometrie nicht oder nur bedingt anwendbar beziehungsweise es zeigt sich, dass sich bei Krümmungen andere Werte ergeben.

Hier gilt der Grundsatz, dass bei einer positiven Krümmung die Winkelsumme größer, bei einer negativen Krümmung die Winkelsumme kleiner als 180^° ist.

Nun gehören Winkelsummensätze aus der nichteuklidischen Geometrie eher in den Bereich der höheren Mathematik, die sich beispielsweise mit der Berechnung allgemeiner Raumkonzepte wie dem hyperbolischen Raum beschäftigen.

Wozu werden Winkelsummensätze benötigt?

Bezogen auf das Dreieck erlaubt beispielsweise die Kenntnis von zwei Winkelgrößen die einfache Berechnung der dritten Winkelgröße:

Beispiel: Gegeben ist (α) 55^° sowie (β) 45^°
Gesucht wird (γ) X
55 + 45 = 100 + 80 = 180
Der Winkelsummensatz hilft dabei, ohne es extra aufzuzeichnen, zu erkennen, ob es sich bei angegeben Werten tatsächlich um ein Dreieck handelt, und zwar mit der Dreiecksungleichung:

Die Dreiecksungleichung besagt, dass die addierte Länge zweier Seiten eines Dreiecks immer größer sein muss als die dritte Seite.

Beispiel: Ein Dreieck mit den Seitenlängen a) 5 cm, b) 4 cm und c) 3 cm
3 + 4 = 7 > 5
4 + 5 = 9 > 3
5 + 3 = 8 > 4

Das Verhältnis von Innenwinkel zu Außenwinkel besteht immer in der Verdopplung der Gradzahl. Bei einem Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme 180^°, die Außenwinkelsumme 360^°.

Fragen und Aufgaben zu Winkelsummensätze

1. Was wird als allgemeines Dreieck bezeichnet?

   Antwort: Ein allgemeines Dreieck besteht aus drei unterschiedlich großen Innenwinkeln und aus drei unterschiedlich langen Seiten.

2. Wie verhalten sich Seiten und Eckpunkten hinsichtlich ihrer räumlichen Lage?

   Antwort: Die Eckpunkte liegen den Seiten jeweils gegenüber (z.B. Seite a liegt gegenüber Eckpunkt A).

3. Wie werden die drei Innenwinkel benannt?

   Antwort: Die Innenwinkel werden mit alpha (α), beta (β) und gamma (γ) bezeichnet.

4. Wie lassen sich Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks berechnen?

   Antwort: Flächeninhalt: A = (a * h_a)/2 oder A = (b * h_b)/2 oder A = (c*h_c)/2
   Umfang: U = a + b + c

5. Wie werden die Begrenzungslinien eines allgemeinen Dreiecks genannt?

   Antwort: Die Begrenzungslinien eines Dreiecks sind die Seiten a, b und c.

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