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Vektoren

In der Mathematik ist ein Vektor ein Objekt, das eine parallele Verschiebung um einen feststehenden Betrag in eine bestimmte Richtung beschreibt. Der Vektor ist der linearen Algebra zugeordnet. Das Wort Vektor ist dem lateinischen „vector“ entliehen und bedeutet „Fahrer oder Träger“.

In einem engen Sinne sollte in der analytischen Geometrie ein Vektor als ein mathematisches Objekt verstanden werden, das die parallele Verschiebung in einer Ebene oder einem Raum beschreibt. Der Vektor kann durch einen Pfeil dargestellt werden, der den ursprünglichen Bildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet. Pfeile gleicher Länge, parallel und in gleicher Richtung, beschreiben den gleichen Vektor. Im kartesischen Koordinatensystem werden Vektoren durch Zahlenpaare (in der Ebene) oder Tripel (im Raum) dargestellt, die normalerweise untereinander geschrieben werden (als "Spaltenvektoren" bezeichnet). Sie können Vektoren hinzufügen und mit reellen Zahlen (Skalaren) multiplizieren. Aufgrund der Koordinatendarstellung geometrischer Vektoren werden n-Tupel reeller Zahlen, dh Elemente von R n, üblicherweise als Vektoren oder Koordinatenvektoren bezeichnet. Jeder n-dimensionale reale Vektorraum ist isomorph zum Vektorraum R n, was Sinn macht. Beispiele für die Verwendung des Begriffs "Vektor" finden sich auch in der Wirtschaftsmathematik.

Die Anzahl der Vektoren in der Physik hängt eng mit den geometrischen Vektoren zusammen. Dies sind physikalische Größen mit Länge und Richtung, die normalerweise durch Pfeile dargestellt werden. Wie beispielsweise Beschleunigung, Geschwindigkeit, Kraft, Impuls sowie elektrische und magnetische Feldstärke.

Geschichte der Vektorrechnung

Die Vektorrechnung wurde von Hermann Günter Graßmann begründet, der 1844 seine "Lineare Expansionstheorie", mit mehr als 300 Seiten, veröffentlichte. Vorläufer sind: August Ferdinand Möbius (August Ferdinand Möbius), ein Schüler von René Descartes, und Carl Friedrich Gauß. Um 1850 verwendete der irische Mathematiker Matthew O'Brien Vektorrechnung, um mechanische Sachverhalte zu beschreiben, die jedoch weitgehend ignoriert wurden. Fast zur gleichen Zeit entwickelte William Rowan Hamilton eine ähnliche Theorie der sogenannten Quaternionen, die er 1853 in "Lectures on Quaternions" und "The Elements of Quaternions" (Herausgegeben 1866) veröffentlichte. In Deutschland wurden Vektorberechnungen durch August Föppl, Alfred Bucherer, Richard Gans, Carl Runge sowie Fischer v. Ignatowsky verbreitet.

Quelle: Mathmon - Eigenes Werk (Originaltext: selbst erstellt), CC BY-SA 3.0 de,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=36381214

Definition von Vektoren:

In der Geometrie ist ein Vektor ein Objekt, das die parallele Verschiebung in einer Ebene oder einem Raum beschreibt. Die Bewegung kann durch den Pfeil angezeigt werden, der den ursprünglichen Bildpunkt und seinen Bildpunkt verbindet. Parallele Pfeile mit derselben Länge und Richtung stellen dieselbe Verschiebung dar, sodass sie ebenso denselben Vektor darstellen. Formal kann der Vektor wie folgt definiert werden:

Der Pfeil ist eine gerichtete Strecke, das bedeutet, eine Strecke, die die Reihenfolge des Ziels angibt. Wenn zwei Pfeile parallel sind und dieselbe Länge und Richtung haben, sind sie gleichwertig. Dies definiert die Äquivalenzbeziehung für die Menge der Pfeile in der Ebene oder im Raum. Äquivalenzklassen werden Vektoren genannt.

Eine andere Möglichkeit besteht darin, den Vektor mit der parallelen Verschiebung zu identifizieren, die er darstellt. Dann ist "Vektor" nur eine andere Art, "Parallelverschiebung" auszudrücken.

Fragen und Aufgaben zu Vektoren

1. Welche Aussage kann zu dieser Grafik getroffen werden?

   
   Zeichnung: E.Hollecker

   Antwort: An dem Rechteck setzt eine Kraft in eine bestimmte Richtung ein.

2. Wenn die Länge und die Richtung von 2 Vektoren übereinstimmt, wie wird dies bezeichnet?

   Antwort: Die Vektoren werden in diesem Fall als gleich bezeichnet

3. Wenn zwei Vektoren die gleiche Richtung haben, wie wird dies genannt?

   Antwort: Dies wird parallel genannt.

4. Nenne die Angaben, die einen Vektor festlegen?

   Antwort: Betrag (Länge)
   Richtung
   Orientierung

5. Was unterscheidet einen Gegenvektor von einem Vektor?

   Antwort: Ein Gegenvektor besitzt zwar dieselbe Richtung und denselben Betrag (Länge), jedoch eine abweichende Orientierung

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