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Vektoren im Raum

Vektoren im Raum
Quelle: Von MartinThoma - Eigenes Werk, CC BY 3.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=21388478

Vektorräume oder lineare Räume sind algebraische Strukturen, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet werden. Der Vektorraum ist das zentrale Thema der linearen Algebra. Die Elemente eines Vektorraums werden Vektoren genannt. Sie können mit einem Skalar (Zahl) addiert oder multipliziert werden, und das Ergebnis ist immer noch ein Vektor im selben Vektorraum. Dieser Begriff entstand, als die Eigenschaften basierend auf Vektoren im euklidischen Raum abstrahiert wurden, sodass sie auf abstraktere Objekte (wie Funktionen oder Matrizen) übertragen werden konnten. Ein Skalar, mit dem der Vektor multipliziert werden kann, stammt aus einem Körper. Daher ist der Vektorraum immer der Vektorraum in einem bestimmten Feld. Es ist normalerweise ein reelles Zahlensegment R oder ein komplexes Zahlensegment C. Dann wird über einen reellen Vektorraum oder einen komplexen Vektorraum gesprochen. Die Basis eines Vektorraums ist ein Satz von Vektoren, mit denen jeder Vektor durch eine eindeutige Koordinate dargestellt werden kann. Die Anzahl der Basisvektoren in der Basis wird als Dimensionalität des Vektorraums bezeichnet. Es ist unabhängig von grundlegenden Entscheidungen und kann auch unbegrenzt oder unendlich sein. Die strukturellen Eigenschaften eines Vektorraums werden eindeutig durch den Körper bestimmt, der ihn und seine Größe definiert. Mithilfe der Basis können die Koordinaten des Vektors anstelle des Vektors selbst verwenden werden, um den Vektor zu berechnen, was einige Anwendungen erleichtert.

Definition von Vektoren im Raum

V sei eine Menge, (K , + , · ) ein Körper, ⊕: V × V → V eine innere zweistellige Verknüpfung, genannt Vektoraddition, und ⊙ : K × V → V eine äußere zweistellige Verknüpfung, genannt Skalarmultiplikation. Man nennt dann (V , ⊕ , ⊙ ) einen Vektorraum über dem Körper K oder kurz K -Vektorraum, wenn für alle u , v , w ∈ V und α , β ∈ K die folgenden Eigenschaften gelten:

Vektoraddition:

V1: u ⊕ ( v ⊕ w ) = ( u ⊕ v ) ⊕ w (Assoziativgesetz)
V2: Existenz eines neutralen Elements 0V ∈ V mit v ⊕ 0V = 0V ⊕ v = v
V3: Existenz eines zu v ∈ V inversen Elements − v ∈ V mit v ⊕ ( − v ) = ( − v ) ⊕ v = 0V
V4: v ⊕ u = u ⊕ v (Kommutativgesetz)

Skalarmultiplikation:

S1: α ⊙ ( u ⊕ v ) = (α ⊙ u ) ⊕ (α ⊙ v ) (Distributivgesetz)
S2: (α + β ) ⊙ v = (α ⊙ v ) ⊕ (β ⊙ v )
S3: (α · β ) ⊙ v = α ⊙ (β ⊙ v )
S4: Neutralität des Einselements 1 ∈ K, also 1 ⊙ v = v

Erklärung zu den Symbolen ⊙ und ⊕
⊕ Das eingekreiste Pluszeichen ist das Verknüpfungszeichen für eine vektorielle direkte Summe.
⊙ Der eingekreiste Punkt ist in Bezug auf Vektorräume ein Symbol für einen Vektor.

Fragen und Aufgaben zu Vektoren im Raum

  1. Ist der folgende Vektor linear unabhängig?
    (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) im R3

    Antwort: Nein, es gilt 2 * (4,5,6) – (1,2,3) = (7,8,9).

  2. Ist dieser Vektor linear unabhängig?
    (cos nx, sin mx)n,mEN\(0)

    Antwort: Ja, dieser Vektor ist linear unabhängig. Es gibt zwar Verknüpfungen zwischen den trigonometrischen Funktionen, die Additionstheoreme, jedoch sind dies Verknüpfungen im Ring, nicht im Vektorraum über den reellen Zahlen. Einen strengen Beweis kann man mit Hilfe der Fourier-Zerlegungen der Funktionen sin(nx) und cos(mx) finden

  3. Stelle den folgenden Vektor w als Linearkombination der Vektoren v1, v2, v3 dar
    w = (2,2,1), v1 = (1,5,1), v2 = (0,9,1), v3 = (3, -3,1)

    Antwort: w = - v1 + v2 + v3

  4. Gebe die Basis für folgenden Vektorraum an?
    { (x1, x2, x3) ∈ ℝ3 : x1 = x3}

    Antwort: Eine Basis ist gegeben durch (v1,v2) mit v1 (1;0;1) und v2 (0;1;0)

  5. Was ist der Euklidische Raum in Bezug auf Vektorenräume?

    Antwort:

    • Ein über ℝ definierter Vektorraum mit Skalarprodukt
    • Ein affiner Raum (Euklidischer Punktraum) der über einem Euklidischen Vektorraum modelliert ist.
    • Ein Koordinatenraum ℝ3 mit dem Standardskalarprodukt

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