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Varianz & Standardabweichung

Die Begriffe Varianz & Standardabweichung beschreiben innerhalb der Mathematik die sogenannten Streuungswerte oder Streuungsparameter um einen Mittelwert. Neben der Varianz und der Standardabweichung gehört ebenso die Spannweite dazu. Alle drei Begriffe werden vor allem im Zusammenhang mit Statistiken verwendet.

Die Spannweite

Der Streuungswert „Spannweite“ gibt die Distanz an, die zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert einer Datenreihe besteht. Da es sich bei diesen beiden erfassten Messwerten um die extremsten Werte handelt, besteht bezüglich der Aussagekraft eine entsprechend hohe Abweichung gegenüber dem Mittelwert. Aus diesem Grund wird die Spannweite in der Regel nur bei Stichproben bestimmt, um in der Standardabweichung die obere Grenze zu markieren.

Die Formel zur Spannweite:

R=x_max − x_min

Spannweiten-Berechnung:

Sortierung der Datenreihe in aufsteigender Reihenfolge
Den maximalen Wert ermitteln
Den minimalen Wert ermitteln
Berechnung der Spannweite anhand der Formel

Beispiel:

Zehn Kinder werden nach ihrem Alter befragt und deren Angaben werden in einer Datenreihe erfasst:

im nächsten Schritt wird die Datenreihe aufsteigend sortiert:

nun lassen sich die Extremwerte der Datenreihe ablesen:

X_min = 7
X_max = 16

Entsprechend der Formel R=x_max − x_min erfolgt die Berechnung 16 − 7 = 9

Die Varianz:

Als Varianz wird in einer Datenreihe die mittlere quadratische Abweichung vom Mittelwert bezeichnet.

Varianz-Berechnung:

Zuerst wird der Durchschnitt berechnet
Dann erfolgt die Berechnung der Varianz

Beispiel:

Für eine Verkehrsplanung wird der zeitliche Abstand zwischen zwei öffentlichen Punkten in einer Stadt erfasst, die eine Straßenbahn an 5 Tagen (Montag bis Freitag) in der Woche benötigt

Wochentag	Montag	Dienstag	Mittwoch	Donnerstag	Freitag
Dauer in Minuten	17	12	15	12	14

Berechnung des Durchschnitts:

(17+12+15+12+14) ÷ 5 = 14 Durchschnitt (Mittelwert)

Zur Berechnung der Varianz werden nun von allen Einzeldaten der Mittelwert abgezogen und das Ergebnis jeweils hoch 2 genommen. Danach werden die Werte wieder zusammengerechnet und durch 5 (Tage) geteilt

((17-14)²+(12-14) ²+(15-14) ²+(12-14) ²+(14-14) ² ) ÷ 5 = (9+4+1+4 ) ÷ 5 = 3,6

Es wird immer durch die Zahl geteilt, die auch zur Teilung bei der Berechnung des Durchschnitts verwendet wurde.

Die Standardabweichung:

Die Berechnung der Standardabweichung erfolgt mittels Wurzelziehens der Varianz, abgekürzt wird die Standardabweichung mit σ (Sigma)

σ = √ 3,6 ≈ 1,9

Fragen und Aufgaben zu Varianz & Standardabweichung

Sei X eine Zufallsvariable und sei μ=E(X) der Erwartungswert der Zufallsvariable. Die Varianz lautet dann Var(X)=E((X-μ)²). Was beschreibt die Varianz?

Antwort: Die zu erwartende quadratische Abweichung der Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert. Die Varianz beschreibt die zu erwartende quadratische Abweichung der Zufallsvariable von ihrem Erwartungswert.
Sei X eine Zufallsvariable, sei μ=E(X) der Erwartungswert der Zufallsvariable und sei Var(X)=E((X-μ)²) die Varianz. Wie lautet dann die Standardabweichung?

Antwort: μ(X) = √E((X-μ)²)
Sei X eine Zufallsvariable und sei μ=E(X) der Erwartungswert der Zufallsvariable. Die Varianz lautet Var(X)=E((X-μ)²). Wie kann man die Varianz noch berechnen?

Antwort: Var(X) = E (X²) – (E(X))²
Sei X eine Zufallsvariable und sei μ =E(X) der Erwartungswert der Zufallsvariable. Wie lautet dann die Varianz?

Antwort: Var(X) = E((X-μ)²)

Varianz & Standardabweichung

Die Spannweite

Die Formel zur Spannweite:

Spannweiten-Berechnung:

Die Varianz:

Varianz-Berechnung:

Berechnung des Durchschnitts:

Die Standardabweichung:

Fragen und Aufgaben zu Varianz & Standardabweichung

Sei X eine Zufallsvariable und sei μ=E(X) der Erwartungswert der Zufallsvariable. Die Varianz lautet dann Var(X)=E((X-μ)2). Was beschreibt die Varianz?

Sei X eine Zufallsvariable, sei μ=E(X) der Erwartungswert der Zufallsvariable und sei Var(X)=E((X-μ)2) die Varianz. Wie lautet dann die Standardabweichung?

Sei X eine Zufallsvariable und sei μ=E(X) der Erwartungswert der Zufallsvariable. Die Varianz lautet Var(X)=E((X-μ)2). Wie kann man die Varianz noch berechnen?

Sei X eine Zufallsvariable und sei μ =E(X) der Erwartungswert der Zufallsvariable. Wie lautet dann die Varianz?

Sei X eine Zufallsvariable und sei μ=E(X) der Erwartungswert der Zufallsvariable. Die Varianz lautet dann Var(X)=E((X-μ)²). Was beschreibt die Varianz?

Sei X eine Zufallsvariable, sei μ=E(X) der Erwartungswert der Zufallsvariable und sei Var(X)=E((X-μ)²) die Varianz. Wie lautet dann die Standardabweichung?

Sei X eine Zufallsvariable und sei μ=E(X) der Erwartungswert der Zufallsvariable. Die Varianz lautet Var(X)=E((X-μ)²). Wie kann man die Varianz noch berechnen?