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Strahlensatz

Der Strahlensatz ist eines der wichtigsten Instrumente der Geometrie. Er befasst sich insbesondere mit den Verhältnissen von Streckenlängen und macht Aussagen dazu, mit denen sich verschiedenste unbekannte Strecken schnell und einfach berechnen lassen. Es gibt den ersten, zweiten und dritten Strahlensatz.

Fragen zum Strahlensatz

1. Wie werden die Strahlensätze in der synthetischen Geometrie verwendet?

   Die ersten beiden Strahlensätze können in der synthetischen Geometrie sinngemäß auf affine Translationsebenen verallgemeinert werden. Sie gelten damit uneingeschränkt für desarguesche Ebenen.

2. Worauf beziehen sich die drei Strahlensätze jeweils?

   Es gibt insgesamt drei Strahlensätze, von denen sich der erste auf die Verhältnisse von Strahlenabschnitten bezieht und der zweite auf die Verhältnisse von Strahlen- und Parallelenabschnitten. Der dritte Strahlensatz behandelt schließlich die Verhältnisse von Parallelenabschnitten.

3. Kann man aus einem Strahlensatz auf eine Parallelität von Geraden schließen?

   Wenn sich je zwei Abschnitte auf der einen Geraden so zueinander verhalten wie die ihnen entsprechenden Abschnitte auf der anderen Geraden, so kann man auf parallele Geraden schließen.

4. Woher kommt der Name „Strahlensatz“?

   Die Bezeichnung Strahlensatz resultiert aus einem Spezialfall, bei dem die beiden Parallelen auf derselben Seite des Scheitels liegen. In diesem Fall benötigt es zur Formulierung keine zwei sich in einem Scheitel schneidenden Geraden. Es reichen zwei „Strahlen“ mit einem gemeinsamen Ursprung.

5. In welchem Zusammenhang steht der Strahlensatz mit der geometrischen Ähnlichkeit?

   Die geometrische Ähnlichkeit und der Strahlensatz stehen in einem engen Zusammenhang zueinander, da sich aus der Aussage im Rahmen der geometrischen Ähnlichkeit, dass in zwei Dreiecken die Seitenverhältnisse übereinstimmen, auch der Strahlensatz ergibt.

6. Was verbindet den Strahlensatz mit dem Satz des Thales?

   Der griechische Philosoph und Mathematiker Thales von Milet hat nach der Überlieferung mit Hilfe eines Stabes, dessen Schattenlänge er gemessen hat, die Höhe der ägyptischen Cheops-Pyramide ermittelt. Daher bezeichnet man den Strahlensatz auch oft als Satz des Thales, insbesondere in einigen Ländern.

7. Welche Beweise gibt es für den Strahlensatz?

   Der erste Beweis für die Existenz des Strahlensatzes geht auf eine Darstellung aus Euklids Elementen zurück. In der griechischen Antike wurden jedoch bereits weitere Beweise erbracht. So wurde die Gleichheit für einen Fall der möglichen Verhältnisse in vielen Beispielen aufgezeigt, woraus sich die anderen unmittelbar ergeben. Zudem muss festgehalten werden, dass auch Euklid nur für einen Fall den Beweis erbrachte.

8. Was ist der Daumensprung?

   Mithilfe des Daumensprungs kann ist der Abstand zwischen dem Beobachter und einem beobachtbaren Objekt oder dessen Größe geschätzt werden. Dies setzt jedoch voraus, dass das jeweils andere Maß als Bezugsgröße bekannt ist. Der Daumensprung erfolgt, indem der Daumen etwa 70 cm vor dem Gesicht mit dem ausgestreckten Arm angepeilt wird. Aus diesem maß und dem Augenabstand von ca. sechs Zentimetern ergibt sich dann das Abstandsverhältnis zum Objekt.

9. Wie kommt der Strahlensatz in der Optik zum Einsatz?

   Im Bereich der Optik werden mit dem Strahlensatz bzw. den Strahlensätzen die Vergrößerungsverhältnisse bei einer Lochkamera beschrieben. Hier arbeiten die Strahlensätze auch mit der Linsengleichung zusammen.

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