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Stochastik

Die direkte Ableitung des Begriffs Stochastik entstammt der altgriechischen Phrase „stochastiké techné, was ungefähr „Kunst des Vermutens“ bedeutet.

Mathematische Begrifflichkeit

In der Mathematik ist die Stochastik der Oberbegriff für die Teilgebiete Wahrscheinlichkeitstheorie sowie mathematische Statistik.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie liefert Begriffe für die mathematische Modellierung des Prozesses zufälliger Ereignisse. Auf dieser Grundlage bietet die mathematische Statistik eine Methode, um Modellparameter aus Beobachtungsdaten zu bestimmen und Aussagen über die Angemessenheit der Modellierung zu treffen. Ein Ereignis oder Ergebnis wird als stochastisch bezeichnet, wenn derselbe Vorgang wiederholt wird und das Ergebnis nicht immer, manchmal und sogar nur versehentlich eintritt und es unmöglich ist, sein Auftreten für einzelne Situationen vorherzusagen.

Definition der Stochastik

Der Inhalt der Stochastik ist die Beschreibung und Erforschung von Zufallsexperimenten wie etwa Würfeln oder Münzwurf sowie die zeitliche Entwicklung und räumliche Struktur, die durch zufällige Faktoren beeinflusst werden. Solche Ereignisse, Entwicklungen und Strukturen werden normalerweise in Daten aufgezeichnet und bieten geeignete Methoden für die Analyse und statistische Daten. Im Allgemeinen umfasst die Stochastik eine Reihe von Methoden, mit denen Wahrscheinlichkeiten sowie die Größe der Unsicherheit beispielsweise in Meinungsumfragen bestimmt werden können. Zufallszahlen sind auch für die Finanzmathematik wichtig, und ihre Methodik kann beispielsweise bei der Preisgestaltung hilfreich sein.

Die Wahrscheinlichkeit wird durch den Buchstaben P (von Laplace eingeführte Bezeichnung, P = probabilité) oder durch den Buchstaben W dargestellt. Die Wahrscheinlichkeit besitzt keine Einheiten, aber Zahlen zwischen null und eins, und null und eins sind ebenfalls zulässige Wahrscheinlichkeiten. Daher können sie als Prozentsätze (20%), Dezimalzahlen, Brüche, Quoten (2 von 10 oder 1 von 5) oder Verhältnisse (1 zu 4) angegeben werden (alle Details beschreiben die gleiche Wahrscheinlichkeit). Wenn es keine korrekte Unterscheidung zwischen "zu" und "von" gibt, liegt normalerweise ein Missverständnis vor: "1 zu 4" bedeutet, dass ein erwartetes Ereignis durch 4 unerwünschte Ereignisse ausgeglichen wird. Daher gibt es 5 Ereignisse, von denen eines das gewünschte Ereignis ist, dh "1 von 5“ Ereignissen. Wenn mehrere zufällige Experimente hintereinander durchgeführt werden, kann die relative Häufigkeit des Ereignisses berechnet werden, indem die absolute Häufigkeit (die Anzahl der erfolgreichen Versuche) durch die Anzahl der gesamten Versuche geteilt wird. Bei unzähligen Versuchen wird diese relative Häufigkeit in Wahrscheinlichkeit umgewandelt. Tatsächlich wird die Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, um eine akzeptable Übereinstimmung zwischen relativer Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit zu erreichen, häufig unterschätzt.

Fragen und Aufgaben zur Stochastik

  1. Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten wird eine Karte blind gezogen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass es eine Bildkarte oder eine Kreuzkarte ist?

    Antwort:
    Zu berechnen ist laut der Summenregel nun:
    P(E) = P (A∪B) = P (A) + P (B) − P (A∩B)

    Anzahl der möglichen Ergebnisse von A∩B
    Drei Kreuz-Bildkarten sind vorhanden
    Es gibt insgesamt 12 Bildkarten
    Es gibt insgesamt 8 Kreuzkarten

    P (A) = 12/32
    P (B) = 8/32
    P (A∩ B) = 3/32
    = 12/32 + 8/32 − 3/32 = 17/32 = 0,53125
    Die Wahrscheinlichkeit beträgt rund 53 %

    Fragen und Aufgaben zu

    1. An einer Schule werden 500 Schüler unterrichtet. 240 der Schüler sind Knaben, 260 sind Mädchen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der oder die zufällig ausgewählte Schüler/in A ein Mädchen ist?

      Antwort: P =260/500 = 52 %

    2. 15 Autofahrer haben im Ausland eingekauft. Bei der Rückkehr haben 5 der Autofahrer beim Zoll ihre Waren nicht deklariert. Bei 6 der 15 Autofahrer wurde eine Stichprobe vorgenommen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 2 von den 6 nicht deklarierte Waren mit sich führten?

      Antwort:

      1. Zunächst wird die Anzahl der Möglichkeiten benötigt, um aus 15 Autofahrern 6 zufällig auszuwählen: 15/6 * 14/5 * 13/4 * 12/3 * 11/2 * 10/1 = 5005

      2. Auf demselben Rechenweg müssen nun 4 aus 10 (= 210) sowie 2 aus 5 (= 10) Möglichkeiten errechnet werden. Zusammen ergibt dies 210 * 10 = 2100 Möglichkeiten

      3. P = 2100/5005 ≈ 42 %

    3. In einem Lager gab es einen Wasserschaden. Von insgesamt 1440 dort gelagerten Paketen wurden 280 Pakete durch das Wasser beschädigt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass ein zufällig entnommenes Paket einen Wasserschaden aufweist?

      Antwort:
      1440 / 100 = 14,4
      280 / 14,4 = 19,44 %

    4. In einer Urne sind 6 blaue, 6 rote und 6 gelbe Kugeln. Je Farbe sind die Kugeln von 1 bis 6 nummeriert.
      A: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, blind eine rote Kugel zu ziehen?
      B: wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel mit einer geraden Nummer zu ziehen?

      Antwort:
      A: p = 6/18 = 1/3

      Die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugel zu ziehen, ist 1 zu 3.oder 33,33 %

      B: p = 9/18 = 1/2

      Die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel mit einer geraden Nummer zu ziehen ist, 1 zu 2 oder 50 %


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