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Stammfunktion

Funktionen sind Bestandteile der Differentialrechnung, dazu gehört auch deren Ableitung. Nun kommt es jedoch vor, dass statt der Funktion nur deren Ableitung vorliegt, was dann? In solchen Fällen muss eine gegenteilige Rechnung durchgeführt werden. Das Gegenteil der Differentialrechnung ist die Integralrechnung. In ihr werden Ableitungen aufgeleitet, als Funktion „integriert“ und zur Stammfunktion gemacht.

Eine Funktion ƒ (x) ist als Stammfunktion zu verstehen, wenn die Ableitung F'(x) von F (x) mit ƒ (x) übereinstimmt. Demnach ist die Stammfunktion F (x) die Aufleitung von f (x), was sich mathematisch folgendermaßen darstellt:

∫ ƒ(x) dx = F(x) + C

Dem Integralzeichen ∫ folgt die Funktion, die aufgeleitet werden soll ƒ(x) sowie die Kennzeichnung, mit welcher Variablen aufzuleiten ist. Üblicherweise ist dies x, entsprechend kommt dx hinzu. Daraus ergibt sich die Stammfunktion F(x) sowie die Konstante C. Derartige Integrale werden auch als unbestimmte Integrale bezeichnet. Jede Stammfunktion F(x) ist von einer stetigen Funktion ƒ(x) begleitet. Unter „stetig“ ist zu verstehen, dass bei den Funktionswerten keine Sprünge vorkommen. Zu jedem x-Wert besteht auch ein y-Wert.

Eingangs wurde bereits erwähnt, dass die Aufleitung (Integral) als gegenteilig zur Ableitung (Differential) gesehen werden muss. F(x) ist die Stammfunktion von ƒ(x). Genauso ist ƒ(x) die Stammfunktion von ƒ'(x) und diese wieder die Stammfunktion von ƒ''(x). Hier noch einmal als Schema dargestellt:

Stammfunktionen, die durch Integralrechnung entstanden sind, können zur Kontrolle abgeleitet werden. So lässt sich prüfen, ob das Ergebnis mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

F(x) = x² + C
F'(x) = ƒ(x) = 2 x

Stammfunktionen besitzen die Konstante C, die Integrationskonstante. Diese ist auch in der ersten Funktion vorhanden, jedoch mit dem Wert 0. Die Konstante ist immer unabhängig von x und fällt so bei der Ableitung weg. Auf diese Weise bestehen für die Integrationskonstante bei der Aufleitung zur Stammfunktion unendlich viele Möglichkeiten. Über die Variable C wird folglich berücksichtigt, dass eventuell beim Ableiten ein Wert verloren geht.

Zu jeder Funktion besteht eine Stammfunktion, die je nach angewendeter Regel bestimmt werden kann. Zum Beispiel bei einer ganzrationalen Funktion, dem Polynom, oder der Logarithmusfunktion wie auch der Potenzfunktion oder der Exponentialfunktion. Die Berechnung derartiger durchaus komplexer Stammfunktionen erfolgt in der Regel durch Zuhilfenahme von Integrationsregeln wie

Potenzregel
Summenregel
Faktorregel
Differenzregel
partielle Integration

Aufgaben zur Stammfunktion

1. Bestimme die Stammfunktion zu ƒ (x) = -3

   Antwort: Stammfunktion ist: F (x) = -3x + C

2. Bestimme die Stammfunktion zu ƒ (x) = (-1x³ ÷ 8) + 1

   Antwort: Stammfunktion ist: F (x) = (1x⁴ ÷ 32) + 1x + C

3. Bestimme die Stammfunktion zu ƒ (x) = 6 (1 – 2x)²

   Antwort: Stammfunktion ist: F (x) = 6x – 12x² + 8x³ + C

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