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Rationale Funktionen

Die rationale Funktion ist eine Funktion, die als Quotient von zwei Polynomfunktionen angezeigt wird. Ihre Form stellt sich so dar:

Rationale Funktionen

inklusive der natürlichen Zahlen m und n.

Die Zahlen am , … , a0 , bn , … , b0 können jedwede reelle Zahlen (aber ebenso komplexe Zahlen) sein; es besteht nur die Einschränkung, dass Q n ≠ 0 sein muss. Die höchsten Koeffizienten am und bn dürfen zudem nicht Null sein.

Abstrakter können für die Koeffizienten am , … , a0 , bn , … , b0 Elemente eines beliebigen Körpers zugelassen werden. Die rationalen Funktionen mit komplexen Koeffizienten gehören zu den meromorphen Funktionen.

Allgemeiner können rationale Funktionen in mehreren Variablen sowie rationale Funktionen auf algebraischen Varietäten über beliebige Körper betrachtet werden.

Einteilung der rationalen Funktionen

Wenn die Ordnung des Nennerpolynoms Qn mit Grad n = 0 ist, dh eine Konstante, kann man sagen, dass es sich um eine vollständig rationale Funktion oder eine Polynomfunktion handelt. Wenn der Funktionsterm nur durch ein Nennerpolynom mit n > 0 dargestellt werden kann, handelt es sich um eine gebrochene rationale Funktion. Wenn n > 0 und z < n ist, dann ist es tatsächlich eine gebrochene rationale Funktion. Wenn n > 0 und z ≥ n ist, dann ist es eine falsche gebrochene rationale Funktion. Es kann unter Verwendung der Polynomdivision in vollständig rationale Funktionen und echte gebrochenrationale Funktionen unterteilt werden.

Definition , Pol- und Nullstellen gebrochenrationale Funktion

Die gebrochenrationale Funktion ist nicht bei den Nullstellen der Nennerfunktion q definiert. Die Nullstellen der gebrochenen rationalen Funktion setzen sich aus den Nullstellen der Zählerfunktion p zusammen, und diese Nullstellen gehören zum Definitionsbereich der gesamten Funktion. Wenn die reelle Zahl a E R gleichzeitig die Null des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms ist, gibt es einen Sonderfall. Dann können die Zähler- und Nennerpolynome durch den zugehörigen linearen Faktor x-a (möglicherweise sogar mehrmals) teilbar sein, das bedeutet, der Funktionsterm kann um diesen Faktor (möglicherweise mehrmals) verkürzt werden. Wenn die Auftrittshäufigkeit von x-a im Nenner mehr als n-mal im Zähler ist (natürliche Zahl n, n> 0), dann gibt es eine Polstelle (n ist ein Vielfaches der Polstelle); Andernfalls weist die rationale Funktion eine Definitionslücke auf, die an Punkt a kontinuierlich beseitigt werden kann, und die Funktion beständig fortgesetzt werden.

Die Ableitung

Um eine gebrochenrationale Funktion abzuleiten, muss normalerweise die Quotientenregel verwendet werden. Darüber hinaus ist die Kettenregel häufig nützlich, beispielsweise wenn die Nennerfunktion eine Potenz eines Binoms ist. Vor dem Ableiten wird normalerweise empfohlen, den Funktionsterm mit Hilfe der Polynomdivision neu zu schreiben und den verbleibenden echt gebrochenenrationalen Term zu verkürzen.

Anwendungsgebiete rationaler Funktionen

Die Anwendungsbereiche für rationale sowie gebrochenrationale Funktionen erstrecken sich von der Technik über die Naturwissenschaften, wie etwa die Physik. Beispiele hierfür sind:

Die für einen konstanten Abstand s erforderliche Geschwindigkeit v ist umgekehrt proportional zur Zeit t: t (v) = s / v

Für eine feste Menge der Substanz n ist die Konzentration c der Substanz umgekehrt proportional zum Volumen V des Lösungsmittels: C (V) = n / V.

Bei einer festen Kraft F sind Beschleunigung und Masse umgekehrt proportional: a (m) = F / m.

Für die Kapazität C eines Plattenkondensators hängt es vom Plattenabstand d ab: C (d) = ∈01 A/d ändert sich mit dem Flächeninhalt A der Platte, der elektrischen Feldkonstante ∈0 und der Dielektrizitätskonstante ∈r.

Unter Verwendung der optischen Linsengleichung kann die Brennweite f als Funktion der Objektentfernung g und der Bildentfernung b ausgedrückt werden: f (g; b) = gb/g + b; Das Umstellen auf g oder b bietet eine sehr ähnliche Funktion, verwendet jedoch - anstelle von +.

Der Gesamtwiderstand R der beiden parallelen Widerstände R 1 und R 2 beträgt: R = R1 R2 / R1 + R2; Eine ähnliche Formel gilt für die Reihenschaltung zweier Kondensatoren.

Wenn zwei Federkonstanten D1 und D2 zusammen aufgehängt sind, wird mechanisch das folgende Ergebnis für die gesamte Federkonstante D der Anordnung erhalten: D = D1 D2 / D1 + D2.

Fragen und Aufgaben zu Rationale Funktionen

  1. Formuliere eine ganzrationale Funktion 0. Grades

    Antwort: f(x) = 2;

  2. Die folgende gebrochenrationale Funktion f auf einen ganzrationalen Hauptteil und einen gebrochen rationalen Rest spalten:

    Rationale Funktionen aufspalten

    Antwort:

    Rationale Funktionen aufspalten

  3. Stelle eine rationale Funktion mit Nennergrad 2 dar

    Antwort:

    Rationale Funktionen Nennergrad 2

  4. Stelle eine Gleichung mit rationaler Funktion auf, die eine Nullstelle bei x = 1 sowie eine senkrechte Asymptote inklusive Vorzeichenwechsel bei x = 3 beinhaltet

    Antwort:

    Rationale Funktionen mit Vorzeichenwechsel

  5. Welche Asymptoten und Grenzwerte weist folgende Funktion auf?

    Rationale Funktionen mit Asymptoten und Grenzwerte

    Antwort: Eine senkrechte Asymptote bei x = 1 sowie eine waagrechte Asymptote bei y = 0: lim f(x) = 0 x→ ⟂


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