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Potenzfunktionen

Um zu begreifen, welche Aufgaben Potenzfunktionen in der Mathematik übernehmen, muss zuerst einmal der Begriff Potenz und die damit zusammenhängende Potenzierung erklärt werden.

In der Mathematik ist eine Potenz ein Basiswert. Dieser Basiswert erhält einen Exponenten. Dies wird dadurch mathematisch dargestellt, das die Potenz oben rechts eine zusätzliche Zahl erhält.

Dieser Exponent drückt mit der jeweiligen Zahl die Höhe der Potenzierung aus.

Beispiel:
Basiswert = 2
Dieser Basiswert erhält nun einen Exponenten von 3 = 23
Der Basiswert wird dreimal multipliziert 2 x 2 x 2 = 8
Der Potenzwert von 23 = 8

Genutzt werden Potenzwerte vor allem, um Zahlen darzustellen, die sich, von einem Basiswert ausgehend, stark vergrößern oder verkleinern.

Beispiel: Statt 100.000 kann auch 105 geschrieben werden.

Potenzfunktionen dienen nun dazu, Zuwächse oder Abgänge sowohl rechnerisch wie grafisch darzustellen. Der Anwendungsbereich ist sehr breit gestreut und geht beispielsweise von Masse und Volumen über Stromstärken bis hin zu Strahlungsleistungen schwarzer Körper.

Die Potenzfunktionen gehören zu den elementaren mathematischen Funktionen, die beispielsweise so dargestellt werden:

ƒ:x → axr

In dieser Darstellung ist der Exponent ein r für reelle Zahlen. Bei der Darstellung natürlicher oder ganzzahliger Exponenten ist ein n hochgestellt.

Wie lassen sich Potenzfunktionen erkennen?

Bei Übungen und Aufgaben zu Potenzfunktionen geht es anfänglich darum, den jeweiligen Funktionstyp zu erkennen. Wenn eine Funktionsgleichung gegeben ist, kommt es darauf an, wo das x steht. Kommt die Variable x nur als Basis der Potenz vor, handelt es sich um eine Potenzfunktion.

f(x)=a*xb

Liegt jedoch ein Funktionsgraph vor, muss dieser mit den typischen Verläufen der Potenzfunktionen abgeglichen werden. Diese sind wiederum vom Exponenten b abhängig:

Wie werden Potenzfunktionen gezeichnet?

Es ist etwas kompliziert, Graphen von Potenzfunktionen zu zeichnen, da sie meist einen Kurvenverlauf besitzen.

Zuerst muss ein Koordinatensystem gezeichnet werden

Dann folgt die Wertetabelle

Übertragen der Werte aus der Tabelle in das Koordinatensystem

Die Punkte mittels einer Kurve verbinden.

Es ist hilfreich, wenn zuvor schon einmal Graphen von Potenzfunktionen angesehen wurden.

Wie lassen sich Aufgaben zu Potenzfunktionen lösen?

Die Textaufgaben mit Potenzfunktionen beinhalten nicht selten Lösungen zu Wachstum oder Volumen mit Extremwerten. Es ist gut zu wissen, wie sich Funktionsgraphen verändern, eine Funktionsgleichung einem Graphen zugeordnet wird und wie Anwendungsaufgaben gelöst werden.

Durch folgende Schritte verändert sich beispielsweise der Funktionsgraph einer Potenzfunktion.

Es hilft, die Orientierung und Symmetrie des Graphen aufmerksam zu beachten, genauso wie das Erkennen der Basis sowie der Vergleich von Funktionswerten.

Fragen und Aufgaben zu Potenzfunktionen

  1. Wie verläuft der Graph bei folgender Potenzfunktion: y = - x3

    Antwort: Der Graph verläuft von links oben nach rechts unten

  2. Welche Funktionen besitzt ein natürlicher Exponent? Zwei Antworten

    Antwort:
    b(x)=37,5 * x3
    c(x)=40 * x1

  3. Welche Eigenschaften besitzt folgende Funktion?
    g(x)=2 * x4−2
    Zwei Antworten.

    Antwort:
    a) Die Funktion hat 2 Nullstellen, bei P1(-1|0) und P2(1|0).
    b) Die Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

  4. Wie heißen die Graphen von Potenzfunktionen mit positiven Eigenschaften?

    Antwort: Diese Graphen werden Parabel genannt.

  5. Sind Graphen von Potenzfunktionen mit geraden, positiven Exponenten punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch?

    Antwort: Sie sind achsensymmetrisch.


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