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Polynomgleichung

Aus dem griechischen Wort „poly“ für viel sowie dem griechischen „onoma“ für Name ist der Begriff Polynom abgeleitet. Erstmals verwendet hat ihn der französische Mathematiker Francois Viéte im 16. Jahrhundert.

Definition der Polynomgleichung

Eine Polynomgleichung setzt sich aus unterschiedlichen Potenzen auf der linken wie der rechten Seite der Gleichung zusammen.

Beispiel: x3 − 6x = 3x2 − 8

Um diese Gleichung zu lösen, wird sie zuerst auf die sogenannte Nullform gebracht. Das bedeutet, dass die Gleichung solange über die Äquivalenzumformung bearbeitet wird, bis sich auf der rechten Seite nur noch die Null findet.

Beispiel:
x3 − 6x = 3x2 − 8      | − 3x2
⇔x3 − 3x2 − 6x = 8      | +8
⇔x3 − 3x2 − 6x + 8 = 0

In dieser Art der Polynomgleichung wird statt Nullform auch der Begriff Normalform verwendet.

Die Nullstellen in der Polynomgleichung

Die Nullstellen der Polynomfunktion oder die Wurzeln bzw. Lösungen der Polynomgleichung sind jene Werte von x, wobei der Funktionswert P (x) Null ist, dh die Gleichung P (x) = 0 erfüllt ist. Die Polynomfunktion des Objekts (oder häufiger des Integritätsrings) hat immer höchstens so viel Nullen, wie der Grad anzeigt. Darüber hinaus besagt der Grundsatz der Algebra, dass eine komplexe Polynomfunktion mit n ≥ 1 (dh eine Polynomfunktion mit komplexen Koeffizienten) mindestens eine komplexe Null hat (Satz der reinen Existenz). Wenn sie nach dem Multiplikator der Nullen gezählt werden, gibt es genau n Nullen (Polynomdivision).

Zum Beispiel ist die Wurzel x = 2 der Polynomfunktion (x-2)2doppelt genau. Infolgedessen kann jede komplexe Polynomfunktion positiver Zahlen in das Produkt linearer Faktoren zerlegt werden.

Im Allgemeinen kann die algebraische Felderweiterung L jedes Feldes K gefunden werden, wobei alle positiven Polynome von K mit positiven Koeffizienten die Polynome auf L in lineare Faktoren zerlegen. In diesem Fall wird L als algebraischer Abschluss von K bezeichnet. Die Nullen der Polynome erster, zweiter, dritter und vierter Ordnung können unter Verwendung von Formeln (zum Beispiel unter Verwendung der pq-Formel der quadratischen Gleichung) genau berechnet werden. Andererseits können Polynomfunktionen höherer Ordnung nur in besonderen Fällen mit Hilfe von Wurzelzeichen genau zerlegt werden.

Fragen und Aufgaben zur Polynomgleichung

  1. x3 +4x2 − 20x -48 = 0

    Antwort:

    Polynomgleichung

  2. 6x3 -8x2 − 16 = 0

    Antwort:

    Polynomgleichung

  3. x3 − 3x2 − 6x − 2 = 0
    x1 = -1
    Bitte mittels Polynomdivision lösen

    Antwort:

    Polynomgleichung

  4. Was bedeutet der „Satz von Abel-Ruffini“?

    Antwort: Im Satz von Abel-Ruffini ist festgelegt, dass allgemeine Polynomgleichungen des 5. oder eines noch höheren Grades nicht durch Wurzelausdrücke (Radikale) auflösbar sind. Die Beweisführung dafür stammt von Paolo Ruffini und Niels Henrik Abel.

  5. Wie werden die Exponenten der Potenzen in einer Polynomgleichung genannt?

    Antwort: Die Exponenten der Potenzen sind natürliche Zahlen wie (0) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…


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