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Pi / Kreis- & Kugelberechnung

Eine Kugel ist in der Geometrie die Kurzbezeichnung für Kugelfläche und Kugelkörper, wohingegen ein Kreis eine ebene geometrische Figur ist. Er wird definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die einen konstanten Abstand zu einem vorgegebenen Punkt dieser Ebene, dem sogenannten Mittelpunkt, haben. Der Abstand der Kreispunkte zum Mittelpunkt ist der Radius. Die Kreiszahl (Pi) ist eine Konstante, die als Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser definiert ist.

Fragen zur Mathematik: Pi / Kreis- & Kugelberechnung

1. Die Kreiszahl ist eine Konstante, aber auch eine irrationale Zahl. Wie ist eine irrationale Zahl definiert?

   p ist eine irrationale Zahl, sie kann daher nicht als Quotient zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Als Folge ist die Dezimaldarstellung von p unendlich und wiederholt sich nie. Darüber hinaus ist p eine transzendente Zahl, also eine Zahl die nicht als Lösung eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten auftreten kann.

2. Was ist der Unterschied zwischen einem Kreissektor und einem Kreissegment?

   Ein Kreissektor ist die Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird, im Vergleich dazu wird ein Kreissegment von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen. Eine Kreissehne ist eine Verbindungsstrecke von zwei Punkten auf der Kreislinie.

3. Da die Kreiszahl Pi eine transzendente Zahl ist, gibt es kein Konstruktionsverfahren, mit dem man den Flächeninhalt exakt bestimmen kann. Welche Ansätze gibt es als Näherungen zur Bestimmung der Kreisfläche?

   Eine Annäherung der Berechnung der Kreisfläche kann durch Quadrate bzw. Vielecke (Sechsecke) erfolgen, oder durch das Auszählen in einem Raster. Bei der Annäherung über Rasterauszählung hängt die Genauigkeit mit der Feinheit des Quadratrasters zusammen, welches ausgezählt wird. Die Annäherung mittels Quadraten liefert einen relativen Fehler von weniger als 5 %.

4. Wie lautet der Sehnensatz, der in Rahmen von Kreisberechnungen eingesetzt wird?

   Der Sehnensatz lautet: Schneiden zwei Sehnen [AC] und [BD] einander in einem Punkt S, so gilt, dass die Produkte der jeweiligen Sehnenabschnitte gleich sind. Dies kann mittels Formel folgendermaßen ausgedrückt werden: Zwei Sehnen eines Kreises, die sich nicht schneiden, können verlängert werden zu Sekanten, die entweder parallel sind oder sich in einem Punkt S außerhalb des Kreises schneiden.

5. Wie entsteht aus einem Kreis eine Kugel?

   Eine Gerade (2r) verläuft durch den Mittelpunkt eines Kreises. Wird der Kreis um diese Gerade rotiert, so entsteht eine Kugel. Alle Punkte der Kugeloberfläche haben somit vom Mittelpunkt die gleiche Entfernung.

6. Was haben die Kugel, das Ellipsoid, das Paraboloid und das Hyperboloid gemeinsam?

   Alle genannten Objekte gehören zu den Flächen zweiter Ordnung. Diese Flächen ergeben sich, wenn man in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem die Gleichung Ax+By+Cz+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Kz+L=0 graphisch darstellt. Bei bestimmten Werten für die Variablen A bis L ergeben sich dann die unterschiedlichen Objekte wie Kugel, Ellipsoid, Paraboloid und Hyperboloid.

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