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Newton-Verfahren

Der als Newton-Verfahren oder auch Newton-Raphson-Verfahren bekannte Approximationsalgorithmus wird in der Mathematik oft zur numerischen Lösung nichtlinearer Gleichungen verwendet.

Was ist ein Approximationsalgorithmus?

Mithilfe eines Approximationsalgorithmus, er wird auch als Näherungsalgorithmus bezeichnet, werden vor allem in der Informatik Optimierungsprobleme näherungsweise gelöst. Mit exakten Algorithmen lassen sich viele Optimierungsprobleme nicht unbedingt effizient lösen, weshalb es unter Umständen sinnvoll ist, eine Lösung zu finden, die sich wenigstens der optimalen Lösung annähert. Approximationsalgorithmen werden in der theoretischen Informatik in Klassen eingeteilt wie etwa APX, PTAS/PAS und FPTAS.

Definition des Newton-Verfahren

Für den Fall, dass eine Gleichung eine Variable besitzt, ist für eine gegebene kontinuierliche Differentialfunktion f: R → R der ungefähre Wert der Lösung der Gleichung f (x) = 0, dh H. es findet sich der ungefähre Wert der Nullstellen in der Funktion. Die Grundidee dieses Prozesses besteht darin, die Funktion am Startpunkt zu linearisieren, das bedeutet das bestimmen ihrer Tangente unter Verwendung der Nullstelle der Tangente als verbesserte Annäherung an die Funktion Null. Die erhaltene Näherung wird als Ausgangspunkt für weitere Verbesserungsschritte verwendet. Diese Iteration wird durchgeführt, bis die Änderung der Näherungslösung unter den festgelegten Grenzwert fällt. Im besten Fall konvergiert die iterative Methode asymptotisch in der zweiten Konvergenzordnung, und dann wird die korrekte Anzahl von Dezimalstellen in jedem Schritt verdoppelt. Ausgehend vom Startwert x0
xn + 1 = xn − (f’(xn) / f(xn))
wird iterativ wiederholt, bis eine ausreichende Genauigkeit erreicht ist.

Geschichte zum Newton-Verfahren

Im Zeitraum von 1664 bis 1671 verfasste Isaac Newton die Arbeit „Methodus fluxionum et serierum infinitarum“. Übersetzt aus dem lateinischen heißt dies: Von der Methode der Fluxionen und unendlichen Folgen. In dieser Arbeit erklärt Newton einen neuen Algorithmus für die Lösung von polynomialen Gleichungen, beispielhaft dargestellt anhand der Gleichung y3 − 2y − 5 = 0. Es lässt sich leicht erraten, dass hier der Punkt y = 2 die erste Näherung darstellt. So machte Newton den Ansatz y = 2 + p zu einem als klein angenommenen p, um es in die Gleichung einzusetzen. Da p klein ist oder klein sein soll, lassen sich die Terme höherer Ordnung im Verhältnis zu konstanten oder linearen Termen vernachlässigen, so wie 10p − 1 = 0 bzw p = 0,1. Dieses Vorgehen kann nun wiederholt werden, bis eine maximal mögliche Genauigkeit vorliegt.

Das Newton-Verfahren in der Konvergenz

Die Newtonsche Methode ist eine lokal funktionierende Konvergenzmethode. Die Sequenz, die in der Newton-Iteration Null wird, konvergiert auch nur beim Anfangswert, der H ist. Das 0. Mitglied der Sequenz ist bereits "nahe" bei Null. Wenn der Startwert zu groß ist, kann das Konvergenzverhalten nicht geändert werden, dh eine unterschiedliche Divergenz der Sequenz und eine Schwingung oder Konvergenz der Oszillation gegen eine andere Null sind möglich.

Wenn der Anfangswert x0 die Newtonsche Methode konvergiert, ist die Konvergenz jedoch quadratisch und die Konvergenzreihenfolge 2. Die Startpunktmenge der Newtonschen Methode ist relativ zur alten Null, die den Einzugsbereich bestimmt. Färbt man für eine Polynomfunktion, mit reellen oder komplexen Koeffizienten, die Einzugsbereiche verschiedener Nullstellen in der komplexen Ebene unterschiedlich ein, so ergibt sich ein Newtonfraktal. In diesem ist zu erkennen, dass die Einzugsbereiche Bassins, d. h. Kreisscheiben um die Nullstellen enthalten, aus welchen heraus die Newtoniteration stabil gegen die Nullstelle im Zentrum konvergiert. Aber es ist auch zu erkennen, dass die Ränder der Einzugsbereiche „ausgefranst“ sind, sie haben sogar eine fraktale Struktur. Geringe Abweichungen im Startpunkt können also zu unterschiedlichen Nullstellen führen.

Fragen und Aufgaben zu

  1. Vorgegeben ist Funktion f(x) = ex − xe, die Definitionsmenge ist D = R+. Die Ableitung der Funktion f ergibt sich aus: f’(x) = ex − e * xe-1 Bestimme anhand des Newton-Verfahren den Näherungswert für die Nullstelle?

    Antwort: xn+1 = xn − (f(xn) / f‘(xn))

  2. Nenne zwei Anwendungsbereiche für die Verwendung des Newton-Verfahren?

    Antwort:
    Berechnung der Quadratwurzel
    Berechnung der Kubikwurzel
    Schnittpunkt zweier Funktionen
    Gemischt-goniometrische Funktionen

  3. Welche Varianten des Newton-Verfahrens stehen noch zur Verfügung?

    Antwort:
    Das vereinfachte Newton-Verfahren
    Das inexakte Newton-Verfahren
    Das Newton-Krylow-Verfahren

  4. Im Intervall [2;3] besitzt f genau eine Nullstelle a. Führe mit dem Startwert 3 den ersten Schritt des Newton-Verfahrens zur näherungsweisen Berechnung von a durch. Man erhält dadurch a auf zwei Dezimalen genau.

    Antwort:
    f(t)=3(1−e−t)−t
    f'(t)=3e−t−1
    t0=3 (Startwert)
    f(t0)=f(3) ≈ -0,15
    f'( t0)=f'(3)=3e-3-1 ≈ -0,85

    Nullstelle a bestimmen:
    a=t0-f(t0)f'( t0) =3-f(3)f'(3) =3-0,15-0,85 ≈ 2,82

  5. Betrachtet wird die Funktion f:x → sin x2 mit Definitionsmenge ℝ\{0}.
    Gebe die Nullstellen von f an.

    Antwort:
    f(x)= sin x ÷ x2 , mit ℝ\{0}
    f(x)= 0 ⇔ sin x ÷ x2 = 0
    sin x = 0


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