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Logarithmusfunktionen

Der Begriff Logarithmus setzt sich aus den altgriechischen Wörten „lógos“ für Verständnis oder Verhältnis sowie „arithmós“ für Zahl zusammen.

Was sind Logarithmusfunktionen?

In einer Zahl wird der Logarithmus als Exponent bezeichnet, der mit einer zuvor festgelegten Zahl, der Basis, potenziert wird, um daraus den Numerus zu erhalten. Logarithmen lassen sich nur für positive reelle Zahlen definieren, was auch die Basis mit einbezieht, die ebenfalls positiv sein muss.

Wenn also x als Potenz mit b als Basis ausgedrückt wird, ist der Logarithmus der positiven reellen Zahl x mit x als Basis der Wert des Exponenten, dh die Zahl y, die die Gleichung b y = x löst. Man schreibt y = log_b (x). Nehmen Sie den Logarithmus, d. H. die Umwandlung von x nach log_b (x) ist er daher die inverse Potenzierungsoperation. Weisen Sie bei einer festen Funktion der Basis b jeder positiven Zahl ihren Logarithmus zu. Diese Funktion wird als logarithmische Funktion der Basis b bezeichnet.

Mit Logarithmen können Sie eine deutlich schnell wachsende Zahlenfolge anzeigen, da die logarithmische Wachstumsrate großer Zahlen viel langsamer ist als die Zahl selbst. Wie in der Gleichung log_b (x*y) = log_b (x) + log_b (y) gezeigt, ist es unter Verwendung des Logarithmus möglich, anstelle der Multiplikation eine Addition mit weniger Rechenintensität zu verwenden. Logarithmen beschreiben auch viele technologische Prozesse und Naturphänomene auf mathematisch elegante Weise, wie das Verhalten von Halbleiterdioden, die Spiralform eines Schneckenhauses oder die Wahrnehmung unterschiedlicher Schallpegel durch das menschliche Ohr. Schon zu Zeiten Christi Geburt wurden die entsprechenden mathematischen Berechnungen aus Indien überliefert. Der Begriff Logarithmus wurde im frühen 17. Jahrhundert von John Napier geprägt. Zum Gedenken an Napier wird der natürliche Logarithmus manchmal als Napier-Logarithmus oder Nepier-Logarithmus bezeichnet.

Geschichte cer Logarithmen

Indische Mathematiker im 2. Jahrhundert v. Chr. erwähnten als erste Logarithmen. Schon in der Antike verwendeten etwa die Griechen Logarithmen zur Basis 2, um sie für Berechnungen einzusetzen. Im 8. Jahrhundert beschrieb der indische Mathematiker Virasena Logarithmen mit Basis 3 und 4. Ab dem 13. Jahrhundert erstellten arabische Mathematiker ganze Logarithmentabellen.

Durch Vergleich der arithmetischen Folge und der geometrischen Reihen berechnete Nicolas Chuquet die Potenz
aⁿ * a^m = a^n+m und (aⁿ) m = a^n*m.

Der deutsche Mathematiker Michael Stifel formulierte wie andere Autoren im 16. Jahrhundert die Beziehungen
q^m * qⁿ = q^m+n und q^m / qⁿ = q^m-n auf ähnliche Weise. Zu Beginn der Entwicklung der Logarithmen folgte die Vereinfachung von der Multiplikation zur Addition der trigonometrischen Additionsformel. Stifel erlaubt nur ganzzahlige Exponenten. Andererseits bestand die Idee von John Napier (1550-1617) darin, kontinuierliche Indexwerte zuzulassen.

Im 17. Jahrhundert entwickelte der Schweizer Uhrmacher Jost Bürgi (1552–1632) ein neues System zur Berechnung von Logarithmen, das er 1620 nach langer Arbeit veröffentlichte. Doch schon vorher veröffentlichte der schottische Denker John Napier 1614 ein Buch über Logarithmen, das ihn als "Erfinder der Logarithmen" berühmt machte. Bürgi und Napier entwickelten jedoch die Arbeit und das Wissen über Logarithmen voneinander unabhängig.

Fragen und Aufgaben zu Logarithmusfunktionen

1. Schreibe Summe oder Produkt mit einfachem Numerus: lg(5y)

   Antwort: lg(5y) = lg5 + lgy

2. Schreibe Summe oder Produkt mit einfachem Numerus: log_a(xy)³

   Antwort:
   log_a (xy) ³
   = 3 * log_a (xy)
   = 3 * (log_ax + log_a y)
   = 3 * log_ax + 3 * log_a y

3. Umwandlung von Logarithmusgesetzen in Logarithmusmuster : lg a – lg b + 1g c

   Antwort:
   lg a – lg b + 1g c
   = lg a/b + 1g c
   = lg [a/b * c]

4. Nenne mindestens 3 Anwendungen für Logarithmusfunktionen in der Natur?

   Antwort:
   Die Anordnung von Sonnenblumenkernen auf der Sonnenblume
   Das Wachstum eines Schneckenhauses
   Der Schalldruckpegel
   Helligkeitsempfinden (Leuchtdichte)
   Einstufung von Erdbebenstärken (Richterskala)
   Die Helligkeit von Sternen
   Wachstums- sowie Zerfallprozesse

5. Was ist der Unterschied zwischen natürlichem Logarithmus und dekadischem Logarithmus?

   Antwort: Beim natürlichen Logarithmus ist die Basis e, die Eulersche Zahl.
   Beim dekadischen Logarithmus ist die Basis 10.

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