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Lösen von Gleichungen

In der Mathematik ist eine Gleichung die Aussage über die Gleichheit zweier sogenannter Terme.

Was sind Terme?

Bei Termen handelt es sich um mathematische Gebilde. Üblicherweise stellt der Term eine Seite einer Gleichung dar.

Die zwei Seiten einer Gleichung

Eine Gleichung besteht also aus einer linken und einer rechten Seite. Dabei ist eine Gleichung entweder wahr oder falsch:

1 = 1 ist eine wahre beziehungsweise erfüllte Gleichung.
1 = 2 ist eine unwahre oder falsche Gleichung.

In eine Gleichung können nun Variablen eingesetzt werden. Diese Variablen entsprechen bestimmten Werten, die als Lösungen gesucht werden, um eine wahre Gleichung zu erhalten.

Die Thematik der Lösung von Gleichungen unterteilt sich in verschiedene Ansätze:

• Lösen von Gleichungen mittels Umformung
• Lösen von Polynomgleichungen
• Lösen von Bruchgleichungen
• Lösen von Wurzelgleichungen
• Lösen von Gleichungssystemen
• Lösen von Differentialgleichungen

In der Geschichte der Mathematik finden sich viele mathematische Probleme, die mittels entsprechender Gleichungen dargestellt und gelöst wurden. Die wohl berühmteste Gleichung ist der Satz des Pythagoras:

a² + b² = c²

Diese Gleichung ist wahr, wenn bei rechtwinkligen Dreiecken die Hypotenuse dem rechten Winkel gegenüberliegt und a sowie b die Katheten bezeichnet.

Das Lösen von Gleichungen ist keineswegs nur Lernstoff für den Unterricht. Die Übungen helfen in vielen Alltagssituationen sowohl beruflich wie in der Freizeit. Damit können Sachverhalte gegenübergestellt werden und anhand der bekannten Werte Lösungen gefunden werden.

Gleichungen dienen in der Realität meist der Vorhersage oder der Berechnung bestimmter Bedarfsgrößen. So kann mit einer Gleichung beispielsweise berechnet werden, wie viel Lack für das Umspritzen eines Fahrzeuges benötigt wird.

Ein anderes Beispiel: Ein Landwirt möchte abschätzen, wie lange es dauert, bis sich seine Herde von 200 Rindern durch normale Vermehrung auf 500 Tiere vergrößert hat.

In beiden Fällen bestehen die Gleichungen aus unterschiedlichen Werten, etwa Lack in Kg oder Liter, die Karosserie in Quadratzentimeter sowie die Stärke der aufzutragenden Farbmenge. Dabei kann die Gleichung fast beliebig erweitert werden, etwa mit der zu erwartenden Menge an Verlust durch Streuung oder der Anzahl der benötigten Deckschichten. In Bezug auf die sich vermehrende Rinderherde spielt die Tragzeit eine Rolle, der Zeitraum bis Jungtiere selbst wiederum Kälber gebären können und bei Bedarf weitere Faktoren.

Der wichtigste Punkt bei der Lösung von Gleichungen ist das Finden eines einheitlichen Terms für unterschiedlich zu betrachtende Werte. Nicht selten muss deshalb zuerst eine Umformung stattfinden, wobei diese sich immer auf den Wert der gesuchten Lösung bezieht. Beim Autolack wäre das Liter, bei der Herde wären es Rinder.

Fragen und Aufgaben zu Lösen von Gleichungen

1. x + 3 = 5

   Antwort: 5 – 3 = 2

   Zur Verständlichkeit: bei einer Gleichung besteht die Lösung darin, dass auf beiden Seiten der Gleichung übereinstimmende Werte stehen. Links also 5-3 und rechts 2.

2. 2x + 5 = 7

   Antwort: 2 * 1 +5 = 7

3. 12 x – 3 = 21

   Antwort: 12 * 2 – 3 = 21

4. x + 5 = 3

   Antwort: -2 + 5 = 3

5. 4x - 3 = 13

   Antwort: 4 * 4 – 3 = 13

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