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Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme sind ein Teilgebiet der Algebra und werden meist mit der Buchstabenkombination LGS abgekürzt. Man versteht darunter ein System aus linearen Gleichungen, bei dem mehrere unbekannte Größen vorhanden sind und berechnet werden müssen.

Fragen zum linearen Gleichungssystem

1. Wie unterscheiden sich homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme?

   Bei homogenen linearen Gleichungssystemen existiert mindestens eine Lösung. Ist das Gleichungssystem dagegen inhomogenen, muss nicht zwangsläufig eine Lösung existieren, die Gleichung kann also auch unlösbar sein.

2. Wie sollte mit den Koeffizienten verfahren werden, um ein lineares Gleichungssystem optimal zu behandeln?

   Für die optimale Behandlung des linearen Gleichungssystems ist es nützlich, sämtliche Koeffizienten zu einer Matrix zusammenzufassen. Diese Matrix wird folglich auch Koeffizientenmatrix genannt.

3. Was ist üblicherweise der erste Schritt zur Lösung eines Gleichungssystems?

   Um ein Gleichungssystem lösen zu können, ist es in den meisten Fällen notwendig, es zunächst in eine definierte Standardform zu bringen. Erst dann können vorhandene Formeln zur Lösung erfolgreich eingesetzt werden.

4. Müssen zur Festlegung eines linearen Gleichungssystems die Unbekannten angegeben werden?

   Nein, es reicht aus, die erweiterte Koeffizientenmatrix anzugeben. Diese erhält man, wenn an die Koeffizientenmatrix A eine Spalte mit der rechten Seite des Gleichungssystems angehängt wird.

5. Was ist das Einsetzungsverfahren?

   Das Einsetzungsverfahren ist ein spezielles Verfahren, um ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Man nennt es auch das Gauß-Eliminationsverfahren. Dieses Verfahren eignet sich für Gleichungssysteme mit 2 Variablen in 2 Gleichungen sehr gut. Beim Einsetzungsverfahren wird eine der Gleichungen nach einer Variablen aufgelöst. Danach wird diese in die andere Gleichung eingesetzt.

6. Wie heißt ein weiteres Verfahren zum Lösen linearer Gleichungssysteme?

   Das Einsetzungsverfahren eignet sich am besten für Systeme mit max. zwei Variablen. Sind mehr Variablen vorhanden, sollte das Gauß-Eliminationsverfahren, welche nach dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß benannt wurde, zum Einsatz kommen. Wie der Name bereits vermuten lässt, werden hier Variablen nicht in andere eingesetzt, sondern direkt eliminiert.

7. Was ist das Additionsverfahren?

   Mit dem Additionsverfahren kann das Gleichungssystem so umgeformt werden, dass bei der Addition der beiden Gleichungen eines der Variablen wegfällt. Besonders sinnvoll ist der Einsatz des Additionsverfahrens, wenn die Koeffizienten einer Variablen in den Gleichungen entgegen gerichtete Zahlen sind.

8. Wozu dient das Gleichsetzungsverfahren?

   Das Gleichsetzungsverfahren ist eine Abwandlung des Einsetzungsverfahrens und kommt zum Einsatz, wenn beide Gleichungen bereits nach einer Variablen aufgelöst sind. Anschließend löst man beide Gleichungen nach derselben Variablen und setzt diese dann gleich. Dieses Verfahren sollte immer dann zum Einsatz kommen, wenn beide Gleichungen bereits nach der gleichen Variable aufgelöst vorliegen.

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