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Laplace-Formel

Wie wahrscheinlich ist ein Ereignis? Die Frage beinhaltet, dass das Eintreten eines bestimmten Ereignisses oder Geschehens nicht exakt berechnet werden kann, sondern dass nur mehr oder weniger wahrscheinlich ist, dass es genauso passiert.

Damit beschäftigt sich die Wahrscheinlichkeitstheorie oder Wahrscheinlichkeitsrechnung, ein Teilgebiet der Mathematik. Der französische Mathematiker, Astronom und Physiker Pierre-Simon Laplace (*1749 †1827) beschäftigte sich unter anderem mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung und erstellte hierzu eine Formel, die die Berechnung des Eintritts eines Ereignis ermöglicht. Sie wurde zu Ehren von Laplace später nach ihm benannt.

Die Basis für die Laplace-Formel

Die Grundlage für die Laplace-Formel ist die sogenannte Laplace Wahrscheinlichkeit, aus der sich wiederum das Laplace Experiment ableitet.

Die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Ereignisses ist abhängig davon, dass bei allen vorangegangenen Ereignissen die gleichen Grundbedingungen gegeben waren. Erst wenn dies der Fall ist, lässt sich die Laplace-Formel auch anwenden. Denn nur so sind alle tatsächlich eintretenden Ereignisse gleich wahrscheinlich.

Am einfachsten lässt sich dies anhand des Laplace Experiment erklären, das mithilfe eines Würfels durchgeführt wird.

Zunächst einmal ist die Grundbedingung zu erfüllen. In diesem Fall ein sechsseitiger Würfel, der so präzise gearbeitet ist, das die Zahl der Augen, die nach dem Würfeln oben liegen, nur vom Wurf selbst abhängig ist und nicht etwa von einem Ungleichgewicht von einer der sechs Würfelseiten.

Nun soll die Wahrscheinlichkeit berechnet werden, wie groß die Möglichkeit in Prozent ist, dass eine 4 gewürfelt wird. Dazu nun ein Blick auf die Laplace-Formel selbst:

Der Großbuchstabe P steht in der Wahrscheinlichkeitstheorie für die Wahrscheinlichkeit, in der ein Ereignis eintritt.
Der in Klammern geschriebene Großbuchstabe (A) steht für die Anzahl der Ergebnisse, bei denen das Ereignis eintritt.
Das Zeichen Ω (griechisch Omega) steht für ein Ergebnis.

Gesucht wird also P, und errechnet wird P, indem A durch Ω dividiert wird.

Ein Würfel besitzt sechs Seiten, jedoch nur eine Seite, die vier Augen oder Punkte aufweist. Die Zahl 4 ist also 1 mögliches Ergebnis von insgesamt 6 möglichen Ergebnissen. In der Formel entspricht |A| = 1 und |Ω| = 6

Es besteht folglich die 16,7prozentige Wahrscheinlichkeit, dass bei einem Wurf die Zahl 4 fällt.

Nun ist ein Würfel und dessen einmaliges werfen, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass bei diesem Ereignis die Zahl 4 als Ergebnis eintritt, ein sehr einfaches, aber anschauliches Beispiel.

Die Laplace Formel findet in der Statistik ihre Anwendung, etwa bei Berechnungen innerhalb der demografischen Entwicklung der Bevölkerung eines Staates. Der Vorteil der Laplace Formel besteht vor allem darin, dass sich ungleiche Faktoren in die Formel mit einbeziehen lassen.

Als ungleiche Faktoren sind bereits eingetretene Ereignisse zu verstehen, die Einfluss auf das Ergebnis nehmen können.

In den folgende Übungsaufgaben geht es vor allem darum, zu erkennen, was ein Laplace Experiment ist und was nicht, was nicht immer einfach ist, denn es hängt zum Teil davon ab, wie genau die Frage formuliert ist.

Fragen und Aufgaben zur Laplace Formel

1. Welches der folgenden Experimente ist ein Laplace-Experiment?
   1. Das Werfen eines Würfels mit den Zahlen 2,4,6,8,7,4.
   2. Das Werfen einer Münze

   Antwort: Aufgabe 2 ist ein Laplace-Experiment, vorausgesetzt, die Münze besitzt zwei verschiedene Seiten (Kopf und Zahl).

   Aufgabe 1 hingegen ist kein Laplace-Experiment, da durch das doppelte vorkommen der 4 auf den Würfelseiten die Wahrscheinlichkeiten nicht gleich hoch sein können.

2. Welches der folgenden zwei Experimente ist kein Laplace-Experiment?
   1. Aus einer Urne mit 6 weißen und 4 schwarzen Kugeln, jedoch gleich großen Kugeln, eine Kugel zu ziehen
   2. Aus einer Urne mit 10 unterschiedlichen Kugeln eine Kugel zu ziehen

   Antwort: Aufgabe 1 ist ein Laplace-Experiment, denn auch wenn eine Farbe überwiegt, sind die Grundbedingungen oder Elementarereignisse mit 10 gleich großen Kugeln erfüllt.

3. Einen Würfel mit 3, 5, 7, 9, 11, 13 Augen oder Punkten auf den sechs Seiten zu werfen, ist dies ein Laplace-Experiment?

   Antwort: Ja, es ist ein Laplace-Experiment, da für alle Elementarereignisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besteht.

4. Was ist ein Laplace-Experiment?
   1. Aus einem Topf mit 30 Gewinnen und 30 Nieten ein Los ziehen
   2. 20 Schüler schreiben einen Aufsatz zu einem vom Lehrer vorgegeben Thema

   Antwort: Der Topf mit den Losen ist ein Laplace-Experiment, das Schreiben der Aufsätze hingegen nicht, da hier die Elementarereignisse nicht gleich sind.

5. Welche Rechenregel ist bei einem Laplace-Experiment richtig?

   

   Antwort: Richtig ist 1.

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