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Lagebeziehung Gerade-Gerade / Gerade-Ebene / Ebene-Ebene

Lagebeziehung kommt als Begriff in der Schulmathematik vor, der sich auf die Beziehung zwischen Paaren von geometrischen Objektpunkten, geraden Linien und Ebenen bezieht. Die typischen Aufgaben in diesem Bereich sind: Wie ist die Beziehung zwischen einer bestimmten Geraden und einer Ebene (im dreidimensionalen Raum)? Die möglichen Antworten sind: Die Gerade schneidet die Ebene an einem Punkt oder die Gerade vermeidet die Ebene oder die Gerade ist in der Ebene enthalten. Die Art der Beantwortung hängt weitgehend von der Beschreibung der betreffenden Geraden oder der Ebene ab. Bei der Lösung verschiedener Positionsprobleme müssen lineare Gleichungen immer wieder gelöst werden. Das lineare Gleichungssystem wird hauptsächlich dadurch erzeugt, dass lineare Kombinationen von Vektoren gleich gemacht werden.

Gerade – Gerade

Zwei Geraden y = m1 x + d1, y = m2 x + d2 haben einen Schnittpunkt (Lösung des linearen Gleichungssystems), falls m1 ≠ m2 ist.

Ist m1 = m2 , d1 = d 2 gilt, sind die Geraden identisch und falls m1 = m2 , d1 ≠ d2 gilt, sind die Geraden verschieden und parallel.

Sind zwei Geraden y = m x + d, ( x und y ) = ( p1 und p2 ) + t ( r1 r2 ) haben einen Schnittpunkt, falls die Gleichung p2 + tr2 = m (p1 + tr1 ) + d für t genau eine Lösung t0 besitzt. Der Schnittpunkt hat die Koordinaten (p1 + t0r1, p2 + t0r2 ) Falls die Gleichung keine Lösung besitzt, sind die Geraden verschieden und parallel.

Ist die Gleichung für alle t E R erfüllt, sind die Geraden identisch. Zwei Geraden ( x y ) = (p1 und p2 ) + t ( a1 und a2 ), ( x y ) = ( q1 und q2 ) + t ( b1 und b2 ) haben einen Schnittpunkt, falls das lineare Gleichungssystem

p1 + ta1 = q1 + sb1
p2 + ta2 = q2 + sb2

für s , t genau eine Lösung s0 , t0 besitzt. Der Schnittpunkt ist (p1 + t0a1 , p2 + t0a2 ) Falls das Gleichungssystem keine Lösung besitzt, sind die Geraden verschieden und parallel. Falls das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt, sind die beiden Geraden identisch.

Gerade und Ebene

Ist die Ebene parametrisiert gegeben, bestimmt man zunächst eine Koordinatengleichung. Eine Gerade x → = p → + t r → hat mit der Ebene ax + by + cz = d einen Schnittpunkt, falls die Gleichung

a ( p1 + tr1 ) + b ( p2 + tr2 ) + c ( p3 + tr3 ) = d für t genau eine Lösung t0 besitzt. Der Schnittpunkt ist dann p → + t0r →

Besitzt die Gleichung keine bzw. unendlich viele Lösung(en), ist die Gerade zur Ebene parallel. (Diesen Fall kann daran erkannt werden, dass der Richtungsvektor der Gerade zum Normalenvektor ( a , b , c )T der Ebene senkrecht steht, d. h. ihr Skalarprodukt ist 0.)

Ebene zu Ebene

Zwei Ebenen a1x + b1y + c1z = d1, a2x + b2y + c2z = d2 besitzen genau eine gemeinsame Gerade (Schnittgerade), falls die beiden Normalenvektoren ( a1, b1, c1 ), (a2, b2, c2 ) keine Vielfache voneinander (d. h. linear unabhängig) sind. Die Schnittgerade ergibt sich als Lösung des linearen Gleichungssystems.

Falls die Normalenvektoren linear abhängig sind, sind die Ebenen parallel und zwar identisch, falls die beiden Gleichungen Vielfache voneinander sind.

Zwei Ebenen ax + by + cz = d, x → = p → + ue → + vf → besitzen genau eine gemeinsame Gerade (Schnittgerade), falls die lineare Gleichung

a ( p1 + ue1 + vf1 ) + b ( p2 + ue2 + vf2 ) + c (p3 + ue3 + vf3 ) = d

in u , v nach u oder v auflösbar ist. Ist die Gleichung nach u auflösbar und u = u ( v ),

so ist v frei wählbar und x → = p → + u (v) e → + vf →

eine Parameterdarstellung der Schnittgerade.

Ist die Gleichung weder nach u noch nach v auflösbar, sind beide Parameter nicht in der Gleichung enthalten. In diesem Fall sind die Ebenen parallel und zwar verschieden, wenn die Gleichung einen Widerspruch enthält. (Diesen Fall kann man daran erkennen, dass der Normalenvektor (a, b, c) T der ersten Ebene zu beiden Richtungsvektoren e → , f → der zweiten Ebene senkrecht steht, d. h. die entsprechenden Skalarprodukte sind 0.) Falls beide Ebenen parametrisiert gegeben sind, berechnet man zu einer der beiden Ebenen eine Koordinatengleichung und wendet das vorstehende Verfahren an.

Fragen und Aufgaben zur Lagebeziehung von Geraden und Ebenen

  1. Ein Stromsparkühlschrank kostet 400 € und hat monatliche Energiekosten von 20 €. Ein Billigkühlschrank kostet 200 € und hat monatliche Energiekosten von 40 €. Nach welcher Zeit hat sich der in der Anschaffung teuere Ökokühlschrank bezahlt gemacht?

    Antwort:
    K1 (x) = 20x + 400 (x = Zeit in Monaten, K1 (x) in Euro)
    K2 (x) = 40x + 200 (x = Zeit in Monaten, K2 (x) in Euro)

    Der in der Anschaffung teuere Stromsparkühlschrank hat sich dann amortisiert, wenn die Gesamtkosten (Anschaffungskosten und Energiekosten) gleich, bzw. geringer sind als die des Billigkühlschrankes.

    Kostengleichheit besteht falls K1 (x) = K2 (x)

  2. Für einen Unternehmer ist es wichtig, diejenige Produktionsmenge x einer Ware zu kennen, bei der die ihm bei der Produktion entstandenen Kosten K durch die Erlöse E aus dem Verkauf (Absatz) gedeckt sind. Anders ausgedrückt, er interessiert sich dafür, ab welcher produzierten Menge x er Gewinn G macht.

    Antwort:
    Erlös E(x) = Preis p, Menge x also E(x) = p * x
    Gewinn G(x) = E(x) – K(x)

  3. Ein Betrieb produziert „Handys“ zu 20€ pro Stück. Die fixen Betriebskosten belaufen sich auf 60000 € pro Tag. Der Verkaufspreis pro „Handy“ beträgt 40 €. Maximal kann der Betrieb täglich 4000 „Handys“ herstellen (Kapazitätsgrenze). Ab welcher Ausbringungsmenge macht der Betrieb Gewinn?

    Antwort:
    K(x) = 20 x +60000
    E (x) = 40x
    G(x) = E(x) – K(x) = 40x – 20x – 60000 = 20x – 60000

    ⇔20x – 60000 > 0    | +60000
    ⇔20x > 60000    | : 20 ⇔x > 3000

    Der Betrieb erzielt ab 3000 Handys Ausbringungsmenge Gewinn

  4. Mit welcher Ausbringungsmenge erzielt der Betrieb aus Frage 3 den maximalen Gewinn?

    Antwort: Xmax = 4000
    G (4000) = 20 * 4000 – 60000 = 20000

    Der Gewinn ist bei 4000 Handys pro Tag maximal.

  5. Was ist ein lineares Gleichungssystem?

    Antwort: In der linearen Algebra stellt ein lineares Gleichungssystem eine Anzahl an linearen Gleichungen mit mindestens einer oder mehr Unbekannten dar, die alle gleichzeitig erfüllt sein müssen.


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