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Kurvendiskussion

In der Mathematik ist unter Kurvendiskussion die Untersuchung der geometrischen Eigenschaften des Funktionsgraphen zu verstehen, wie z. B. der Schnittpunkt mit der Koordinatenachse, hohe und niedrige Punkte, Wendepunkte, mögliche Sättel- und Flachpunkte, Asymptoten oder Verhalten im Unendlichen. Diese Informationen ermöglichen das Zeichnen von Graphen, aus denen alle diese Eigenschaften der Funktion sofort abgelesen werden können. Heutzutage besteht der Zweck der Kurvendiskussion jedoch nicht mehr darin, Menschen bei der Erstellung der genauesten Zeichnungen von Funktionsdiagrammen zu unterstützen: Jeder Funktionsplotter (z. B. ein grafikfähiger Taschenrechner) kann dies besser.

Die Zielsetzung in der Kurvendiskussion besteht vielmehr darin:

Genaues Bestimmen der Koordinaten der grafischen Merkmalspunkte (aus dem Funktionsdiagramm können nur ungefähre Werte abgelesen werden).

Beweisen der charakteristischen Eigenschaften wie die Symmetrie oder das Verhalten in der Unendlichkeit. Aus dem Funktionsdiagramm können nur Aussagen abgelesen werden, die sich auf den im Koordinatensystem gezeigten Teil beziehen, zum Beispiel für -6 ≤ x ≤ 6, -4 ≤y ≤ 10. Wenn etwa bei x = 10.000 der Graph ein weiteres "Schlenkern" verursacht, kann eine zuverlässige Aussage nur auf der Grundlage der Kurvendiskussion getroffen werden.

Genau hinsehen: Bei entsprechender Vergrößerung kann sich etwa ein lokales Minimum als lokales Maximum erweisen. Eine Kurvendiskussion deckt derartige Phänomene immer auf, egal ob sie im molekularen Bereich oder auf astronomischer Ebene auftreten, weil Kurvendiskussionen nicht wie funktionale Graphen von der Auflösung abhängen.

Darüber hinaus können für Funktionen, die von vielen Variablen abhängen (z. B. x 1, x 2 und x 3 anstelle von x), Kurvendiskussionen auf sehr ähnliche Weise durchgeführt werden. Eine zweidimensionale oder dreidimensionale Visualisierung solcher Funktionen ist nicht mehr möglich. Im Zusammenhang mit automatischen Hoch- und Tiefpunkten in Entscheidungsunterstützungssystemen ist auch die Bedeutung der Kurvendiskussion offensichtlich geworden. Die Berechnung kann ohne Benutzereingriff durchgeführt werden. Wenn beispielsweise der Einfluss von Randbedingungen auf die zu optimierende Variable überprüfen werden soll, zeigt ein solches System den entsprechenden Extremwert nur grafisch an, während ein Wert, der die Randbedingung beschreibt (z. B. die Ressourcenebene), vielfältig ist.

Definition Kurvendiskussion

Bei Kurvendiskussionen wird immer angenommen, dass die Menge R fast aller reellen Zahlen die Grundmenge ist. Der größte Definitionsbereich der Funktion f ist die Menge aller reellen Zahlen x, für die ein Funktionswert f (x) definiert ist. Für vollkommen rationale Funktionen (Polynomfunktionen) ist der maximale Definitionsbereich entsprechend gleich R. In gebrochenrationalen Funktionen sind alle reellen Zahlen, ausgenommen die Null, im Nenner zum maximalen Definitionsbereich zugehörig.

Koordinatenachsen und Schnittpunkte

Um in der Funktion f die Nullstellen und somit die Schnittpunkte des Funktionsgraphen auf der x-Achse zu finden, berechnet sich der Lösungssatz der Gleichung f (x) = 0. Der genaue Ablauf hängt von der zu prüfenden Funktion ab. Wenn die Funktion f beispielsweise durch einen Bruchterm gegeben ist, wird der Zähler auf 0 gesetzt, um die Nullstellen zu erhalten. Um im Funktionsgraphen den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bestimmen, ist der x-Wert auf 0 zu setzen. Dann ist der y-Achsenabschnitt (0 | f (0)).

Fragen und Aufgaben zur Kurvendiskussion

  1. Welche Fälle müssen berücksichtigt werden, wenn es um die Frage geht, ob ein Funktionsgraph symmetrisch ist?

    Antwort:
    a) Achsensymmetrie in Bezug auf die y-Achse
    b) Punktsymmetrie in Bezug auf den Ursprung
    c) Achsensymmetrie in Bezug auf beliebige Achsen
    d) Punktsymmetrie in Bezug auf beliebige Zentren

  2. Wie definiert sich ein Sattelpunkt (wahlweise auch Terrassenpunkt)

    Antwort: Ein Sattelpunkt oder Terrassenpunkt ist ein Wendepunkt mit einer gleichzeitigen waagrechten Tangente.

  3. Wie hoch war die Zahl der Besucher 2 Stunden nach Öffnung?

    Kurvendiskussion
    (Grafik: Erwin Hollecker)

    In oben stehender Grafik werden die Besucherzahlen eines Restaurants grafisch angezeigt. Das Restaurant öffnet um 10 Uhr und schließt um 21:30 Uhr. Die dazugehörige Funktionsgleichung ist:
    f(x) = - 0,04x3 + 0,5x2 + 15x – 160
    Wie hoch war die Zahl der Besucher 2 Stunden nach Öffnung?

    Antwort: Zu berechnen ist der Funktionswert an Stelle 12
    f(12) = - 0,04 * 12x3 + 15 * 12 – 160 = 23
    Nach 2 Stunden befanden sich 23 Besucher im Restaurant

  4. Wann ist die Anzahl der Besucher aus der Grafik in Frage 3 am größten?

    Antwort: Das Maximum liegt vor, wenn die erste Ableitung gleich 0 und die zweite Ableitung kleiner als Null ist:
    f’(x) = - 0,12x2 + x + 15
    f’’(x) = - 0,24x + 1
    f(16,1) = - 0,24 * 16,1 + 1 = -2,9 < 0
    f(16,1) = - 0,04 * 16,1 + 0,5 * 16,12 + 15 * 16,1 - 160 = 44
    Um etwa 16:06 Uhr war mit 44 Gästen der Andrang am größten.

  5. Nenne mindestens drei Funktionen in der Kurvendiskussion?

    Antwort:
    Definitionsbereich
    Nullstelle
    Polstelle
    Extremstelle
    Wendestelle
    Verhalten im Unendlichen
    Symmetrie
    Monotonie
    Krümmung
    Periodizität


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