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Kongruenz

Der Begriff Kongruenz wird in verschiedenen Bereichen genutzt, in der Mathematik ist der Begriff Kongruenz der linearen Algebra zugeordnet.

Als Kongruent werden zwei quadratische Matrizen (A und B) bezeichnet, wenn es eine dazu invertierbare Matrix (P) gibt.

Im allgemeinen Verständnis ist unter Kongruenz Übereinstimmung oder Deckungsgleichheit zu verstehen.

Um nun zum Verständnis der Kongruenz in der Mathematik zu gelangen, muss etwas über die lineare Algebra und darauf folgend über die dabei verwendeten Matrizen geschrieben werden.

Lineare Algebra

Die lineare Algebra, auch Vektoralgebra genannt, beschäftigt sich mit linearen Abbildungen und Vektorräumen. Dazu gehören eben auch Matrizen sowie lineare Gleichungssysteme. Lineare Abbildungen und Vektorräume werden als Hilfsmittel in verschiedenen Bereichen der Mathematik und darüber hinaus verwendet. So auch in den weiteren Naturwissenschaften, der Informatik und den Wirtschaftswissenschaften.

Die Entwicklung der linearen Algebra fußt auf den Forderungen, geometrische Objekte rechnerisch beschreiben zu können (analytische Geometrie).

Ihren Ursprung hat die Algebra in den Arbeiten des persischen Mathematikers Abu Dschafar Muhammad ibn Musa Chwarizmi, der im 9. Jahrhundert vorwiegend in Bagdad lebte und forschte. Auf Chwarizmi gehen sowohl die Algebra zurück wie auch die Entwicklung von Algorithmen. Wenn Einstein ein Jahrtausendgenie des 2. Jahrtausends war, so war es Chwarizmi für das erste Jahrtausend unserer Zeitrechnung.

Die Matrix in der Algebra

Eine Matrix, Plural Matrizen, ist eine rechteckige Anordnung oder Tabelle, in der in exakter Ausrichtung mathematische Objekte als Zahlen-Buchstabenkombinationen eingetragen sind.

Beispiel:

Üblicherweise werden die senkrechten Spalten mit dem Buchstaben m bezeichnet, die waagrechten Zeilen mit dem Buchstaben n. (Indizes).

Auf dieser Matrix lassen sich nun geometrische Formen rechnerisch darstellen, wobei deren Winkel den jeweiligen Punkten der Matrix entsprechen.

Bei zwei quadratischen Matrizen mit übereinstimmenden Punkten der rechnerisch dargestellten geometrischen Form wird von Kongruenz gesprochen, wenn diese absolut deckungsgleich sind. Die Matrix erleichtert so das Auffinden von Deckungsgleichheiten oder ermöglicht die einfache, aber exakte Spiegelung einer geometrischen Form.

Fragen und Aufgaben zur Kongruenz

1. Was ist der Kongruenzsatz sss?

   Antwort: Mit dem Kongruenzsatz sss werden zwei Dreiecke bezeichnet wenn sie in allen drei Seiten übereinstimmen, also kongruent sind.

2. Was ist der Kongruenzsatz sws?

   Antwort: Die Kongruenz zweier Dreiecke liegt vor, wenn sie in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel übereinstimmen

3. Was ist der Kongruenzsatz wsw?

   Antwort: Hier besteht die Kongruenz zweier Dreiecke, wenn sie in zwei Winkeln sowie der eingeschlossenen Seite deckungsgleich sind.

4. Was ist der Kongruenzsatz ssw:

   Antwort: Die Kongruenz ergibt sich hier durch die Übereinstimmung zweier Seiten und dem Winkel der größeren Seite.

5. Wie werden Kongruenzabbildungen bezeichnet, bitte mindestens drei Beispiele?

   Antwort: Parallelverschiebung, Drehung, Spiegelung, Verknüpfung

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