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ln-Funktion

Der Begriff ln-Funktion ist die Verkürzung der Bezeichnung inverse Funktion oder auch Umkehrfunktion, wobei Umkehrfunktion die übliche Bezeichnung darstellt.

Die Umkehrfunktion in der Mathematik bezieht sich auf sogenannte bijektive Funktionen. Diese besitzen die Eigenschaft, dass sie vollständige Paare in Bezug auf die Definitionsmenge und die Zielmenge bilden. Definitionsbereich und Zielmenge werden symmetrisch behandelt, woraus es sich ergibt, dass eine bijektive Funktion immer auch eine Umkehrfunktion beinhaltet.

ln-Funktion
Quelle: Stephan Kulla (User:Stephan Kulla) - Eigenes Werk, CC BY 3.0
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=14911755

Definition der ln-Funktion:

A und B seien nicht leere Mengen. Zusätzlich zur Definition in der Einleitung können Sie auch die Begriffe der Invertierbarkeit der Funktion f: A → B und der Umkehrfunktion der invertierbaren Funktion formal einführen:

Gesucht wird nach einer Funktion g: B → A, so dass g (f (a)) = a für alle a E A und f (g (b)) = b für alle b E B. Es stellt sich heraus, dass es höchstens eine solche Funktion g gibt, die gegeben werden kann. Wenn sie existiert, wird f als invertierbar bezeichnet, und das einzig sichere g ist die Umkehrfunktion von f.

Mit einer Kombination von Funktionen können die vorherigen Bedingungen auch eleganter ausgedrückt werden, indem für g: B → A: g ∘ f = idA und f ∘ g = idB eingesetzt werden. Hier ist idA die gleiche Abbildung auf Satz A.

Zunächst werden die Begriffe Linksinvers und Rechtsinvers eingeführt. Wenn eine Funktion sowohl links als auch rechts invers ist, wird sie als invertierbar bezeichnet. Es stellt sich heraus, dass in diesem Fall die linke Umkehrung und die rechte Umkehrung übereinstimmen müssen (was auch bedeutet, dass es in diesem Fall nicht mehr als eine gibt). Dann ist diese gut definierte linke und rechte Umkehrung die Umkehrfunktion.

Diese Definition bezieht sich auf die Tatsache, dass die Funktion von A nach B immer auch die Beziehung von A nach B ist. Daher muss sie eine umgekehrte Beziehung haben. Wenn diese umgekehrte Beziehung eine Funktion von B nach A ist, wird f als reversibel bezeichnet. In diesem Fall wird die inverse Beziehung auch als inverse Funktion benannt.

Es hat sich gezeigt, dass alle vorgeschlagenen Konzepte der Reversibilität dem Begriff der Bijektion entsprechen. Alle Definitionen der Umkehrfunktion ergeben ebenfalls das gleiche Ergebnis.

Beispiele: Sei A := { a , b , c , … , y , z } entsprechend der Menge der 26 Buchstaben des lateinischen Alphabets und sei B := { 1 , 2 , 3 , … , 25 , 26 }. Die Funktion f : A → B, die jedem Buchstaben die ihr entsprechende Nummer im Alphabet zuordnet, ist somit bijektiv, und f − 1 : B → A ist gegeben durch f − 1 ( n ) = „der n-te Buchstabe im Alphabet“.

Sei f : R → R die reelle Funktion mit f ( x ) = 3 x + 2. Diese ist dann bijektiv und die Umkehrfunktion wird gegeben durch f −1 : R → R , f −1 ( x ) = ( x − 2 ) / 3.

Allgemeiner: Sind α , β E R und die Funktion f : R → R gegeben durch f ( x ) = α x + β. Dann ist f genau dann bijektiv, wenn α ≠ 0.
In diesem Fall gilt f −1 (x) = x – β / α

Wo wird unter anderem die Umkehrfunktion eingesetzt?

Mittels der Umkehrfunktion kann etwa in der Wirtschaft die Preisbildung für ein Produkt unter verschiedenen Gesichtspunkten abgebildet werden. Statt wie üblich den Preis entsprechend der Nachfrage zu kalkulieren, kann der Preis die Nachfrage abbilden.

Fragen und Aufgaben zur ln-Funktion

  1. Berechne die mögliche Umkehrfunktion zu dieser Funktion: f(x) = (2x+1) / 3

    Antwort: f-1(x) = (3x + 1) / 2
    oder
    f-1(x) = 3x/2 – 0,5

  2. Löse Umkehrfunktion, hier mit eingeschränktem Definitionsbereich: f(x) = x3 + 2

    Antwort: f-1(x) = 3√x -2

  3. Wie sieht die Funktionsgleichung zu dieser Umkehrfunktion aus? f(x) = ½ (x-2) 3+1

    Antwort: f(x)= 3√2x−2+2

  4. Bitte die Funktionsgleichung zu dieser Umkehrfunktion erstellen: f(x) = 3(x+2) 5 − 6

    Antwort: f(x)=5√x/3+2−2

  5. Bilde die Funktionsgleichung zu der Umkehrfunktion: f(x) = ¼ (x+2) -1

    Antwort: f(x)= 1/4x − 2


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