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Gleichsetzen von Funktionen

Der Begriff „Gleichsetzen von Funktionen“ bezieht sich auf sogenannte Funktionsgraphen, die in einer Funktion f die Menge aller geordneten Paare (x, f(x)) aus den Elementen x in der Definitionsmenge und den Funktionswerten darstellen. Es wird auch von Schnittpunkten von Funktionen gesprochen.

Davon abgeleitet sind die linearen geraden Funktionen der Funktionsgraphen (f (x) = m * x + n), wobei sich zwei Gerade in keinem, einem oder mehreren Punkten schneiden können. Das Gleichsetzen der Funktionen bedeutet, das wir die beiden Funktionsgraphen zunächst als Gleichung nebeneinander schreiben, (f(x) = g(x), in der Lösung der wiederum daraus entstehenden Gleichung ergibt sich die jeweilige Lage der Geraden zueinander, was bedeutet:

• Eine Lösung → ein Schnittpunkt
• Keine Lösung → Kein Schnittpunkt, die Geraden sind parallel
• Unendlich viele Lösungen → die Geraden liegen aufeinander, sie sind identisch.

Beispiele: g(x) = 7*x + 2 und h(x) = 2*x + 1 haben einen Schnittpunkt f(x) = 2*x + 4 und h(x) = 2*x + 1 haben keinen Schnittpunkt f(x) = 2*x + 4 und k(x) = 2*x + 4 haben unendlich viele Schnittpunkte.

Das Gleichsetzen der Schnittpunkte berechnen

Zunächst müssen wieder die Gleichungen f(x) = g(x) nebeneinander geschrieben werden. Dann werden die gegebenen Gleichungen auf jeder Seite eingesetzt und der Wert für x berechnet:

Beispiel:
f(x) = 3*x + 4
g(x) = 1*x – 2

Daraus wird geschrieben:
f(x) = g(x)
3 * x + 4 = 1 * x – 2

Nun werden die Gleichungen umgeformt, um den Schnittpunkt (den x-Wert) zu erhalten
3*x + 4 = 1*x - 2
2*x + 4 = -2
2*x = -6
x = -3

Über den errechneten x-Wert (x = -3) erhalten wir den y-Wert, indem wir den x-Wert für f oder für g einsetzen und errechnen
f(x) = 3*x + 4
f(-3) = 3*(-3) + 4
f(-3) = -9 + 4
f(-3) = -5

beziehungsweise für die Funktionsgleichung von g
g(x) = 1*x - 2
g(-3) = 1*(-3) - 2
g(-3) = -3 - 2
g(-3) = -5

Der y-Wert ist also bei f oder g gleichermaßen -5.

Der Schnittpunkt ist folglich S(-3|-5)

In diesem Beispiel der Gleichsetzung von Funktionen ergab sich ein Schnittpunkt der Geraden.

Führt die Gleichung jedoch dazu, das es bei der Umformung zu gleichem Ergebnis bei f und g kommt, etwa 3 = 3, bedeutet dies, das die Funktionsgraphen übereinander liegen und unendlich viele Lösungen ergeben.

Entstehen bei der Umformung der Gleichung zwei Werte, ohne das ein x übrig bleibt, etwa 4 = 1, dann bedeutet dies, das beide Geraden parallel zueinander verlaufen und es keine Lösung gibt.

Fragen und Aufgaben zum Gleichsetzen von Funktionen

1. Berechne den Schnittpunkt der Funktion: f(x) = 2x -1 und g(x) = x + 2

   Antwort: x = 1 S (1|1)

2. Berechne den Schnittpunkt dieser Funktion
   f(x) = 20x +10 und g(x) = 20x + 11

   Antwort: Die beiden Funktionsgraphen verlaufen parallel zueinander, es gibt keinen Schnittpunkt

3. Wie verhalten sich die Geraden bei dieser Gleichung?
   f(x) = 3x +1 und g(x) = 3x + 1

   Antwort: Die beiden Geraden sind identisch, sie liegen aufeinander und bieten unendlich viele Lösungen

4. Berechne den Schnittpunkt bei folgender Gleichung
   f(x) = 0,5x +1.5 und g(x) = 0,7x + 2,1

   Antwort:
   x = 3 S (3|0)
   Es gibt einen Schnittpunkt bei f = 3 und bei g = 0

5. Wo liegt der Schnittpunkt dieser Gleichung?
   f(x) = 2,2x +1 und g(x) = 4,3x + 4,15

   Antwort: x = -1,5 S(-1,5| -2,3)

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