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Formeln umstellen

Formeln werden zur Berechnung bestimmter Größen genutzt, so etwa der Berechnung eines Flächeninhalts. In der Mathematik ist das Umstellen von Formeln ein sehr wichtiges Werkzeug. Über die Formelumstellung können Sachzusammenhänge ineinander umgeformt werden. Da Formeln meist nur aus Variablen bestehen, können sie beispielsweise von der Berechnung des Flächeninhalts auf die Berechnung der Höhe umgestellt werden.

Beispiel:
A = h * b (der Flächeninhalt ist gleich Höhe mal Breite)
A = h * b
↔ A / b = h * b / b
↔ A / b = h (Die Höhe ist gleich dem Flächeninhalt geteilt durch die Breite)

Das Gleichheitszeichen = zeigt an, das beide Seiten gleich sind. Selbst wenn die Seiten nun anders aussehen, steht sowohl links als auch rechts am Ende das Gleiche. Damit es bei der Umformung zu keiner Verletzung der Gleichheit kommt, muss auf beiden Seiten das jeweils Gleiche gemacht werden. Dies wird Äquivalenzumformung genannt.

Ein weiteres Beispiel:
Maria fährt mit ihrer Familie in die Berge. Die Strecke ist 350 Kilometer lang und sie wird mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 90 km/h zurückgelegt. Wie lange brauchen Maria und ihre Familie, um im Gebirge anzukommen?

Zur Lösung der Aufgabe wird zunächst die Formel für die Geschwindigkeit benötigt:
Geschwindigkeit (v) = Strecke (s) geteilt durch die Zeit (t)
v = (s / t)

Strecke durch Zeit ergibt die Geschwindigkeit

Da Strecke und Geschwindigkeit in unserem Beispiel bekannt sind kann man die Formel umformen, so dass man die fehlende Zeit berechnen kann.
t = (s / v) = 350 km / 90km/h ≈ 3,89h

Der Wert hinter der 3 im Ergebnis ist nicht Minute, sondern 89 Bruchteile von 100. Dieser muss nun in Minuten umgerechnet werden:
0,89h in Minute umrechnen:
0,89h*60h/min = 53,4min

Maria und ihre Familie sind also 3 Stunden und 54 Minuten unterwegs.

Formeln werden nicht nur in der Mathematik benötigt. Ein weiterer Schwerpunkt findet sich in der Physik und ebenso in der Chemie.

Es gibt unzählige Formeln und alle dienen dazu, mehr oder weniger schwere Aufgaben zu lösen. Es gibt jedoch immer wieder das Problem, das die jeweilige Formel, die genutzt wird, nicht nach der gesuchten Größe aufgelöst ist. Darum ist es wichtig, eine Formel selbst umstellen zu können.

Tatsächlich lässt sich die Formelumstellung am besten durch Übungen erklären, zumindest bis zu einem gewissen Grad. Geht es etwa darum, Formeln mit Klammern aufzulösen und umzustellen, wird es etwas komplexer, was dann wiederum etwas mehr Theorie benötigt. Die einfache Formelumstellung ist dafür aber ein guter Einstieg.

Noch ein Beispiel: Ein Dreieck besitzt eine Fläche von 40 cm2 und eine Grundseite mit 16 cm. Gesucht wird die Höhe?

Die Formel für die Fläche sieht folgendermaßen aus: A = g * h * (1 / 2)

werden nun die Werte eingesetzt, sieht es so aus: 40 cm2 = 16cm * h * (1 / 2)

Das lässt sich vereinfachen, nämlich so: 40 cm2 = 8cm * h

Um nun die Höhe zu erhalten, wird die Formel so umgestellt, dass die 8 nicht mehr multipliziert, sondern dividiert wird:
h = 40 / 8 = 5

Die Höhe des Dreiecks beträgt also 5 cm.

Fragen und Aufgaben zu Formeln umstellen

  1. Folgende Formel für den Umfang eines Kreises ist gegeben:
    U = 2 * π * r
    Die Formel soll nun nach dem Radius umgestellt werden

    Antwort:
    r = U / (2*π)

  2. Wie kann folgende Formel umgestellt werden:
    Grundwert = Prozentwert / Prozentsatz

    Antwort:
    Prozentwert = Grundwert * Prozentsatz
    oder
    Prozentsatz = Prozentwert / Grundwert

  3. Die Gleichung F = - D * s umstellen nach s

    Antwort:
    F = - Ds
    s = - (F / D)

  4. Die Gleichung Fz = Mv2 / r umstellen nach r

    Antwort:
    r = Mv2 / Fz

  5. Folgende Formel soll so umgestellt werden, das „x“ berechenbar ist
    2 * x + 5 = 11

    Antwort:
    1. Schritt: Die Formel wird folgendermaßen umgestellt 11 – 5 = 6, die Gleichung lautet nun 2 * x = 6
    2. Schritt: In der Formel wird 6 durch 2 dividiert 2 * x = 2 / 6 = 3
    3. Schritt: x = 3


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