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Extremwertaufgaben

Der sogenannte Extremwert steht in der Mathematik für ein lokales, globales Maximum, also ein Wert an einer definierten Stelle einer Funktion, in dessen Umgebung sich keine größeren Werte befinden. Ebenso kann der Extremwert auch ein Minimum sein, so dass sich an der definierten Stelle keine kleineren Werte befinden.

Fragen zu Extremwertaufgaben

1. Was ist ein lokales Maximum?

   Grundsätzlich gilt: Sollte ein Hochpunkt bzw. ein Maximum nur in seiner Umgebung der höchste Punkt sein, dann bezeichnet man diesen Punkt als lokales oder relatives Maximum.

2. Welchen Punkt bezeichnet man als globales Maximum?

   Analog zum lokalen Maximum gilt: Ist das Maximum der höchste Punkt der gesamten Funktion, bezeichnet man ihn als globales oder absolutes Maximum.

3. Was sind die Gegensätze zum lokalen und globalen Maximum?

   Ist ein Minimum der tiefste Punkt in seiner Umgebung, bezeichnet man es als lokales oder relatives Minimum. Stellt das Minimum jedoch in der gesamten Funktion den tiefsten Punkt dar, wird es als globales oder absolutes Minimum bezeichnet.

4. Wie wird die zu einem lokalen Maximum gehörende Stelle genannt?

   Die zu einem lokalen Maximum zugehörige Stelle wird lokaler Maximierer oder auch Extremstelle genannt, die Kombination aus Stelle und Wert bezeichnet man als Extrempunkt.

5. Wie wird das globale Maximum noch genannt?

   Ein globales Maximum wird auch als absolutes Maximum bezeichnet. Für ein lokales Maximum wird auch der Begriff relatives Maximum gebraucht. Lokale und globale Minima sind dagegen gleich definiert.

6. Wozu werden Extremwertaufgaben in der Praxis eingesetzt?

   In der Praxis können die Berechnungen von Extremwerten auch zur Berechnung von größtmöglichen und kleinstmöglichen Vorgaben verwendet werden.

7. Wodurch kann eine Funktion auf Hoch- und Tiefpunkte überprüft werden?

   Zur Überprüfung einer Funktion auf Hochpunkt bzw. Tiefpunkt gibt es folgende Methoden:
   1. Der Vorzeichenvergleich, auch Vorzeichenwechselkriterium genannt.
   2. Die zweite Ableitung überprüfen.

8. Worauf baut die Methode der zweiten Ableitung auf?

   Die Methode der zweiten Ableitung baut auf der eines Vorzeichenvergleichs auf. Begründung: Wenn die erste Ableitung monoton an ihrer Nullstelle fällt, dann muss die zweite Ableitung negativ sein. Hier ist das Kriterium für einen Hochpunkt erfüllt.

9. Warum darf die zweite Ableitung nicht Null sein?

   Wenn die zweite Ableitung Null ist, ergibt sich daraus: Es befindet sich in der ersten Ableitung ein Extremum, das die Nullstelle zur ersten Ableitung ist. In diesem Fall würde sich die Steigung der Funktion nicht ändern, es würde sich daher nicht um einen Extrempunkt handeln.

10. Was ist ein Wendepunkt und wo findet man ihn?

    An der Stelle, wo die Ableitungsfunktion am extremsten ist – also dort, wo sie einen Extrempunkt besitzt, ist ein Wendepunkt vorhanden. Einen solchen Extrempunkt berechnet man durch die Ableitung. Die Extrempunkte der Ableitung werden wiederum durch die zweite Ableitung der Funktion berechnet. Hier gilt allerdings die Bedingung, dass diese Null wird.

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