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Extremstellen

Extremstellen oder besser Extremwerte sind in der Mathematik Oberbegriffe für lokale Maxima oder Minima von Funktionen innerhalb der Kurvendiskussion.

Von Georg-Johann - Eigenes Werk, Gemeinfrei,
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Wenn die Funktion in einem ausreichend kleinen Bereich keinen größeren oder kleineren Wert annimmt, ist das lokale Maximum oder lokale Minimum der Wert der Funktion am Punkt x. Der zugehörige Punkt x wird als lokaler Maximierer oder lokaler Minimierer, Maximalpunkt oder Minimalpunkt oder kurz Extrempunkt bezeichnet, dh eine Kombination aus Punkt- und Wert-Extrempunkt. Das globale Maximum wird auch als absolutes Maximum bezeichnet. Der Begriff relatives Maximum wird auch für das lokale Maximum verwendet. Die Definitionen lokaler und globaler Minima sind ähnlich. Die Lösung der Extremwertaufgabe, zur einfachen Darstellung wird auf die Kurvendiskussion verwiesen, wird als Extremwertlösung bezeichnet.

Extremwerte unterteilen sich je nach vorliegendem Fall in:

Eindimensionaler Fall

Kurzdefinition eines eindimensionalen Falls: Besteht an der Stelle x0 einer Funktion ein Maximum, so wird der Punkt (x0, f(x0)) Hochpunkt genannt. Besteht an der Stelle ein Minimum, wird sie Tiefpunkt genannt. Es ist auf jeden Fall ein Extrempunkt.

Mehrdimensionaler Fall

Sei U C Rⁿ und f: U → R eine Funktion. Außerdem sei x der innere Punkt von U. Wenn es eine Nachbarschaft um x gibt, in der kein Punkt einen kleineren oder größeren Funktionswert hat, wird der lokale Minimal- / Maximalwert von x angegeben. Das Verschwinden des Gradienten ähnelt dem eindimensionalen Fall D f (x) = Grad f (x) und ist eine notwendige Bedingung, damit f den Extremwert am Punkt x annimmt. In diesem Fall ist die Definiertheit der Hesse-Matrix D 2 f (x) ausreichend. Wenn es positiv ist, ist es das lokale Maximum; Wenn es negativ ist, ist es das lokale Minimum und es gibt keine Extreme, sondern nur Sattelpunkte. Wenn es nur semi-deterministisch ist, ist es unmöglich, Entscheidungen auf der Grundlage der Hesse-Matrix zu treffen.

Unendlichdimensionaler Fall

Die Konzepte von Maximum und Minimum setzen sich direkt mit dem unendlichdimensionalen Fall fort. Wenn X ein Vektorraum ist und D C X eine Teilmenge des Vektorraums ist und f: D → R eine Funktion ist. In diesen Fällen hat f ein globales Minimum oder ein globales Maximum.

Wenn dies aus dem Kontext hervorgeht, wird das Wort "global" normalerweise ausgeschlossen. Wenn X auch eine Topologie hat (dh einen topologischen Raum), dann hat f ein lokales Minimum bei x ∈ D, wenn es eine Nachbarschaft U von x (f (x) < f (x)) gibt; Wenn die Umgebung U existiert, hat f ein lokales Maximum. x (f (x) > f (x) existiert. Wenn ein Punkt ein (lokales) Minimum oder (lokales) Maximum ist, wird der Punkt als (lokales) Extrem bezeichnet. Jedes globale Minimum (Maximum) ist ein lokales Minimum (Maximum).

Diskrete Optimierung

Bei einem diskreten Optimierungsproblem ist das oben definierte Konzept der lokalen Extrema nicht angemessen, da es in jeder Hinsicht ein lokales Extremum gibt. Für den Extremwert der Funktion f: D → R wird ein anderes Umgebungskonzept verwendet: Die Nachbarschaftsfunktion N wird verwendet, die jedem Punkt ihre Nachbarmenge zuweist. N: D → P (D); Wobei P (D) die Potenzmenge von D darstellt. Wenn f (x) ≤ f (x₀) aller Nachbarn x ∈ N (x₀) ist, dann hat f am Punkt x₀ ∈ D ein lokales Maximum. Das lokale Minimum ist ähnlich definiert.

Variationsrechnung

Bei Extremwerten von Funktionen, die über Argumente verfügen, die wiederum selbst Funktionen sind, kommt die Variationsrechnung ins Spiel.

Fragen und Aufgaben zu Extremstellen

1. Wo befindet sich der Extrempunkt in dieser Funktion? f(x) = x²

   Antwort: x = 0, y = 0

2. Wo befindet sich der Tiefpunkt in dieser Funktion? f(x) = 2/3 x³ + 3x² + 4x

   Antwort: -1 | -5/3

3. Was ist die Hesse-Matrix?

   Antwort: Die nach dem Mathematiker Otto Hesse benannte Hesse-Matrix dient in der mehrdimensionalen reellen Analysis als Analogon zur zweiten Ableitung einer Funktion. Ihr Anwendungsgebiet liegt bei der Optimierung von Systemen.

4. Was ist in der Mathematik ein Optimum?

   Antwort: Mathematisch gesehen ist das Optimum das Extremum einer Funktion. Das Optimum hängt von den gegebenen Parametern ab und kann bedeuten, das ein schlechter Wert minimiert oder ein guter Wert maximiert wird.

5. Wie groß muss eine Fläche sein, wenn sie exakt mit einem 20 m langen Zaun umfasst werden soll?

   Antwort:
   Hauptbedingung:
   A = a * b

   Nebenbedingung:
   U = 2 * a + 2 * b
   20 m = 2 * a + 2 * b

   Umformung:
   20m = 2 * a + 2 * b       | -2b
   20m - 2b = 2a       | : 2
   10m – b = a
   a = 10m –b

   Variable einsetzen
   A = (10m-b) * b
   A = 10m * b-b²
   

   Extremwert berechnen
   A=−b2+10m*b
   A=−(b2−10m*b)
   A=−(b2−10m*b)
   A=−(b2−10m*b+25m2−25m2)
   A=−(b2−10m*b+25m2)−(−25m2)
   A=−(b−5m)2+25m2

   Scheitelpunkt
   S(5/25)

   Die Fläche darf maximal 25 qm betragen.

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