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Exponentialfunktionen

In der Mathematik ist die Exponentialfunktion eine Funktion der Form x → a^x, die reelle Zahl ist a> 0 und a = / = 1 ist die Basis. In der gebräuchlichsten Form erlaubt der Exponent x die Verwendung von reellen Zahlen. Im Gegensatz zur Potenzfunktion, in der die Basis eine unabhängige Größe (Variable) und der Exponent fest ist. Bei der Exponentialfunktion sind der Exponent des Potenzausdrucks, die Variable und die Basis festgelegt. Die Exponentialfunktion hat zum Beispiel in der mathematischen Beschreibung des Wachstumsprozesses (Exponentialwachstum) eine herausragende Bedeutung.

Die Exponentialfunktion im engeren Sinne (genauer gesagt die natürliche Exponentialfunktion) ist eine Exponentialfunktion mit x → e^x mit der eulerschen Zahl e = 2.718281 828 459 .... als Basis. (x → exp (x) als Schreibweise wird hier ebenso verwendet). Im Vergleich zu anderen Exponentialfunktionen hat diese Funktion spezielle Eigenschaften. Unter Verwendung des natürlichen Logarithmus ist in einer Gleichung a^x = e^x jede Exponentialfunktion auf eine Basis e zurückzuführen.

Manchmal unterscheidet es sich im Deutschen zwischen der allgemeinen Exponentialfunktion und der Exponentialfunktion zur Basis e.

Bildbeschreibung: Graph einer Exponentialfunktion y = e^x (rote Kurve), sowie der Tangente (blau gestrichelt) durch Punkt 0/1 verlaufend.
Quelle: Von Marcel Marnitz, reworked by user:Georg-Johann - Selbst erstellt (own work using GeoGebra),
completely reworked 2010-08-22, Gemeinfrei, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=5905583

Definition der Exponentialfunktionen:

Die Exponentialfunktion zur Basis e kann auf verschiedene Arten für die reellen Zahlen definiert werden. Eine Möglichkeit ist die Definition als Potenzreihe, die sogenannte Exponentialreihe

wobei n! die Fakultät von n bezeichnet. Eine weitere Möglichkeit ist die Definition als Grenzwert einer Folge mit n E N:

Beide Typen werden auch verwendet, um die vertikale Exponentialfunktion exp: C → C für die komplexen Zahlen zu definieren. Die reelle Exponentialfunktion exp: R → R > 0 ist positiv, kontinuierlich, nimmt monoton und surjektiv stark zu. Wobei R > 0 zur Menge der positiven reellen Zahlen gehört. Sie ist daher bijektiv. Aufgrund dessen besteht eine Umkehrfunktion, der natürliche Logarithmus ln: R > 0 → R. Darauf bezieht sich auch der Begriff Antilogarithmus für die Exponentialfunktion.

Wo kommen Exponentialfunktionen zum Einsatz:

Die Anwendungsbereiche für Exponentialfunktionen sind sehr weitreichend, dazu gehören:

Physik:

• Radioaktiver Teilchenzerfall
• Atmosphärischer Luftdruckverlauf
• Ladungskurven in Kondensatoren
• Die Energiekurve einer selbstinduktiven Spule
• In der Statistik und Thermodynamik
• Bei Abkühlung und Erwärmung von Körpern

Chemie:

• Z. B.: Bei der Anwendung des Geschwindigkeitsgesetz

Biologie:

• Bei Epidemien oder Pandemien zur Beschreibung des Populationen-Wachstums.

Stochastik

• Wirtschaft (stetige Verzinsung)

Fragen und Aufgaben zur Exponentialfunktion

1. Wie viel Zeit wird benötigt, damit sich 4000 Euro Guthaben bei 5 % (per Anno) Verzinsung verdoppeln?

   Antwort: n -14,2 (in 14 Jahren und zwei Monaten)

2. Welcher Zinssatz wird benötigt, um in 4 Jahren ein Kapital von 800 auf 1000 Euro anwachsen zu lassen?

   Antwort: p – 5,7 %

3. Eine Seerose bedeckt aktuell eine Teichfläche von 0,01 m². Die Bedeckung der Teichfläche verdreifacht sich jeden zweiten Monat. Wie viel Zeit wird von Beginn der Beobachtung an bis zu dem Punkt vergehen, wenn 10 m² bedeckt sind?

   Antwort: 12,6 Monate

4. Innerhalb einer halben Stunde sinkt die Temperatur eines 50 Grad heißen Körpers um die Hälfte. Dem Abkühlungsprozeß liegt folgende Exponentialfunktion zugrunde: y – 50 * (1/2) ^x
   Welche Temperatur weist der Körper nach 8 Stunden auf?

   Antwort: 0,20 Grad

5. In einer Probe gab es am Anfang 1000 Bakterien. Nach drei Minuten waren es bereits 3375 Bakterien. Wie stellt sich die Gleichung der Exponentialfunktion in Bezug auf die Zuordnung: Zeit in Minuten → Anzahl Bakterien dar?

   Antwort: f(x) = a*b^x
   f(0) = a*b⁰ = 1000
   → a = 1000 (da b⁰ = 1)
   f(3) = a*b³ = 3375 (1)

   Gesetzt wird a = 1000 in (1):
   1000 * b³ = 3375      | : 1000
   b³ = 3,375      | : ³√
   b = 1,5

   folglich: f(x) = 1000 * 1,5^x
   f(10) = 1000 * 1,5¹⁰ entspricht 57665
   

   Nach 10 Minuten sind es etwa 57665 Bakterien

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