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Erwartungswert

In der Stochastik gilt der sogenannte Erwartungswert als einer der wichtigsten Grundbegriffe. Er wird teilweise auch als Mittelwert bezeichnet, obwohl diese Bezeichnung viel Spielraum für falsche Interpretationen lässt und somit doppeldeutig ist.

Quizfragen zu Erwartungswert

1. Was ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen?

   Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen steht für die Zahl, welche die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Ein solcher Erwartungswert ergibt sich zum Beispiel durch unbegrenzte Wiederholungen eines Experiments. Hier stellt der Erwartungswert den Durchschnitt der Ergebnisse dar.

2. Was ist das Gesetz der großen Zahlen?

   Das Gesetz der großen Zahlen besagt, wie die Durchschnitte der Ergebnisse bei einer wachsenden Zahl der Experimente gegen den Erwartungswert streben. Hierbei gilt: Je größer die Anzahl der Experimente wird, desto näher liegen die Stichprobenmittelwerte am Erwartungswert.

3. Mit welchem Wert aus der Statistik ist der Erwartungswert vergleichbar?

   Da der Erwartungswert die Lage der Verteilung der Zufallsvariablen bestimmt, ist er vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung im Bereich der Statistik.

4. Was versteht man unter dem ersten Moment einer Wahrscheinlichkeitsmasse?

   Da der Erwartungswert einer Zufallsvariablen auch als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden kann, bezeichnet man ihn auch als ihr erstes Moment

5. Welcher Wert strebt grundsätzlich gegen den Erwartungswert?

   Grundsätzlich strebt immer der Mittelwert gegen den Erwartungswert, da die relativen Häufigkeiten sich nach dem Gesetz der großen Zahlen mit wachsendem Umfang von Stichproben den theoretischen Wahrscheinlichkeiten annähern.

6. Was ist eine diskrete Zufallsvariable?

   Von einer diskreten Zufallsvariablen spricht man, wenn sich der Wertebereich dieser Zufallsvariablen auf eine endliche bzw. abzählbare Menge konzentriert.

7. Was ist das St. Petersburger Spiel?

   Das sogenannte St. Petersburger Spielwird oft als Beispiel für den Erwartungswert in der Praxis herangezogen. Es handelt sich hierbei um ein Spiel, dessen zufälliger Gewinn einen unendlichen Erwartungswert aufweist. Spielablauf: Es wird eine Münze geworfen. Zeigt sie Kopf, erhält der Spieler zwei Euro und das Spiel ist beendet. Zeigt die Münze Zahl, darf der Spieler nochmals werfen. Wirft er nun Kopf, erhält er vier Euro und das Spiel ist beendet. Wirft der Spieler wieder Zahl, so darf er ein drittes Mal werfen usw.

8. Welche Eigenschaft hat der Erwartungswert für alle integrierbaren Zufallsvariablen?

   Der Erwartungswert für alle integrierbaren Zufallsvariablen gestaltet sich linear, weil das Integral grundsätzlich einen linearen Operator darstellt. Aus dieser Erkenntnis ergeben sich die Regel für den Erwartungswert der Summe von n Zufallsvariablen und den Erwartungswert des Produkts von n stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen.

9. Auf wen geht der Begriff Erwartungswert zurück?

   Der Begriff des Erwartungswertes geht auf eine Abhandlung über Glücksspiele von Christiaan Huygens zurück. Darin bezeichnet Huygens den erwarteten Gewinn seines Spiels als „het is my soo veel weerdt“. Frans van Schooten übersetzte schließlich das Werk von Huygens ins Lateinische und verwendete dabei den Begriff expectatio. Diesen Begriff übernahm wiederum Bernoulli in seiner Ars conjectandi. Er nannte ihn „valor expectationis“.

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