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Differenzieren

In der Mathematik findet der Begriff Differenzieren vor allem in der Differentialrechnung seine Anwendung. Die Differentialrechnung ist ein sehr weites und großes Feld der Mathematik und berührt mit seiner vielfältigen Funktion auch sehr stark die Physik.

Was ist die Differentialrechnung?

In der Differentialrechnung geht es um die Steigung von Funktionen. Mit ihrer Hilfe lassen sich vereinfacht Methoden anwenden, um mathematisch Steigungen zu berechnen. Dazu kommt in der Differentialrechnung die Bestimmung von Wendepunkten und Extremwerten.

Was bedeutet Differenzierbarkeit?

In der Mathematik ist die Differenzierung die Eigenschaft einer Funktion, die auf einzigartige Weise lokal linear um einen Punkt angenähert werden kann. Der Begriff "Unterscheidbarkeit" wird nicht nur für reelle Funktionen auf der Menge reeller Zahlen erklärt, sondern auch für Funktionen mehrerer Variablen, komplexer Zahlenfunktionen, Zuordnungen zwischen reellen Zahlen oder komplexen Vektorräumen und viele andere Arten von Funktionen und Abbildungen . Für bestimmte Arten von Funktionen (z. B. für Funktionen mit mehreren Variablen) gibt es mehrere unterschiedliche Differentialterme. Das Problem der Differenzierbarkeit ist eines der Probleme der Differentialrechnung, die ein Zweig der Analyse ist.

Die Ableitungsfunktion

Ein wichtiger Bestandteil der Differentialrechnung ist die Ableitungsfunktion, wobei es hierfür gleich vier Notationen von vier Mathematikern gibt, die alle ihre Berechtigung besitzen. Üblicherweise wird die Ableitungsfunktion heute anhand der Notationen von Leibniz und Newton erklärt, beide gelten gleichermaßen als die Begründer der Differentialrechnung.

Die mit f '(x₀) bezeichnete Funktionsableitung an der differenzierbaren Funktion f: U → R am Punkt x₀ beschreibt das Verhalten der Funktion in der Nähe des betrachteten Punktes x₀. Jeder Punkt eines Funktionsgraphen kann linearisiert werden. Dies ermöglicht die Definition einer Ableitungsfunktion (oder kurz Ableitung) f ': U → R, die jedem Element der Domäne U der ursprünglichen Funktion f die Linearisierungssteigung zuweist. In diesem Fall sagen wir "f ist in U differenzierbar". Zum Beispiel verknüpft die Quadratfunktion f: R → R mit f (x) = x^² an jedem Punkt x₀ die Ableitung f '(x₀) = 2 x₀. Die Quadratfunktion ist auf der Menge der reellen Zahlen differenzierbar. Die entsprechende Ableitungsfunktion f'ist gegeben durch f ': R → R, wobei f' (x) = 2x ist. Die abgeleitete Funktion unterscheidet sich normalerweise von der ursprünglich betrachteten Funktion. Die einzige Ausnahme ist die natürliche Exponentialfunktion und ein beliebiges Vielfaches von K ∈ ℝ x → k·ex, wobei, wie durch Auswahl von k = e^-a gezeigt, alle Funktionen mit ∈ℝ x→e^x-a enthalten sind. Wenn die Ableitung stetig ist, heißt f stetig differenzierbar. Basierend auf der Bezeichnung C (U), der Summe (Raum) stetiger Funktionen, deren Definitionssatz U ist, wird der Raum von Funktionen, der auf U kontinuierlich differenziert werden kann, als C 1 (U) abgekürzt.

Fragen und Aufgaben zu

1. Wie sieht die Ableitung folgender Funktion aus? f (x) = 2x + 3

   Antwort: f’ (x) = 2

2. Bilde die Ableitung zu folgender Funktion? f (x) = x² + 3

   Antwort: f’ (x) = 2x

3. Die Ableitung aus dieser Funktion ist? f(x)= - ½x² − 2x + 6

   Antwort: f’ (x) =½* 2 * x − 2
   = - x − 2
   = -(x +2)

4. Die Differentialrechnung ist auch die Grundlage zur Berechnung von Gefällen oder Steigungen im Straßenverlauf, wobei diese auf den Straßenschildern in Prozent angezeigt wird. Auf welcher Basis wird das prozentuale Gefälle oder die Steigung ermittelt?

   Antwort: Grundlage ist der Anstieg und die Länge der Steigung. Von deren Anfang ausgehend werden die Höhenmeter gemessen, die die Straße ansteigt, beispielsweise steigt sie auf 100 Meter 12 Meter an, also 100 / 12 = 0,12 oder 12 %.

5. Benenne die 5 wichtigsten Funktionen bei der Erstellung einer Vektorgrafik zur Berechnung eines Differenzquotienten zu einer Durchschnittsgeschwindigkeit auf einer Teilstrecke?

   Antwort: y-Achse
   x-Achse
   Tangente
   Sekante
   Funktionsgraph

6. Über die Funktion f(1) = -0,005x³ + 0,25x² + 0,5x wird das Wachstum eines Baumes pro Tag in Millimeter beschrieben. Wie schnell wächst der Baum am ersten Tag?

   Antwort: f’(1) = -0,015 * 1² + 0,5 * 1 + 0,5
   = -0,015 + 0,5 + 0,5 = 0,985
   Der Baum wächst am ersten Tag um 0,985 mm in die Höhe.

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