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Binomische Formeln (Grundlagen)

Die binomischen Formeln sind Formeln aus der elementaren Algebra zum Umformen von Produkten aus Binomen. Sie werden als Merkformeln verwendet, um das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken zu erleichtern. Des Weiteren erlauben sie die Faktorisierung von Termen, also die Umformung von bestimmten Summen und Differenzen in Produkte.

Fragen zur Mathematik: Binomische Formeln

1. Bei welchen Termen und Ausdrücken ist die Faktorisierung von Termen unter Verwendung der binomischen Formeln oft die einzige Lösungsstrategie?

   Die Faktorisierung von Termen und Ausdrücken wird bei der Vereinfachung von Bruchtermen, beim Radizieren von Wurzeltermen sowie bei Logarithmenausdrücken verwendet.

2. Eine von den drei binomischen Formeln wird alternativ auch Plus-Minus-Formel genannt. Um welche der drei Formeln handelt es sich dabei?

   Man unterscheidet drei binomische Formeln, die dritte binomische Formel wird auch Plus-Minus-Formel genannt. Die erste binomische Formel wird auch als Plus-Formel und die zweite Formel als Minus-Formel bezeichnet. Diese Bezeichnungen beruhen auf den Rechenzeichen in den einzelnen binomischen Formeln.

3. Mit welchem mathematischen Ansatz lassen sich Terme berechnen, die einen höheren Exponenten als den der erste binomischen Formel ((a + b)²), haben?

   Die Berechnung kann mit dem Pascalschen Dreieck erfolgen. Das Pascalsche Dreieck ist eine Anordnung von Zahlen in Dreiecksform. Man geht von einem Dreieck aus drei Einsen aus. Die folgenden Zeilen beginnen und enden auch mit einer Eins. Dazwischen liegen Zahlen, die sich als Summe der beiden darüber liegenden Zahlen ergeben. So kann das Dreieck nach unten hin beliebig weit fortgesetzt werden und der gesuchte Binomialkoeffizient an entsprechender Stelle abgeleitet werden.

4. Was versteht man unter einem Binom?

   Ein Binom (lat. bi, zwei; nomen, Name) ist in der Mathematik ein Polynom mit zwei Gliedern bzw. Variablen, oder in anderen Worten ein Binom ist die Summe oder Differenz zweier Monome. Beispiel für ein Binom: a+b

5. Welche binomische Formeln liefern Rechenverfahren zur Addition und Subtraktion von Wurzeln?

   Die erste und zweite binomische Formel liefern Rechenverfahren zur Addition bzw. Subtraktion von Wurzeln. Die Ausdrücke sind nicht direkt berechenbar, somit muss man die Summe bzw. Differenz quadrieren und anschließend aus dem Quadrat die Wurzel ziehen.

6. Wie lässt sich die zweite binomische Formel in Worten ausdrücken?

   Das Quadrat der Differenz zweier Zahlen ist gleich der Summe der Quadrate der Zahlen, vermindert um das doppelte Produkt.

7. Woher stammt der Begriff „binomisch“?

   Der Begriff binomisch setzt sich aus zwei Wörtern zusammen, die dem Lateinischen entstammen. Es sind die Wörter bi und Nomen, was zusammengesetzt ins Deutsche übersetzt „zwei Namen“ bedeutet.

8. Wie lauten die umgangssprachlichen Bezeichnungen für die drei binomischen Formeln?

   Als binomische Formel werden drei verschiedene Umformungen bezeichnet. Man spricht dabei auch von der Plus-Formel, der Minus-Formel und der Plus-Minus-Formel.

9. Welche Hilfe bieten die binomischen Formel beim Kopfrechnen?

   Die binomischen Formeln können zur Hilfe genommen werden, um kompliziertere Rechenoperationen im Bereich Multiplikation und Division auf einfachere Rechenoperationen zurückzuführen. Durch diese Rückführung entstehen beispielsweise Rechenarten wie Addieren, Subtrahieren, Verdoppeln oder Halbieren.

10. Wie können die binomischen Formel bei der Wurzelrechnung helfen?

    Mithilfe der binomischen Formeln können Wurzeln relativ einfach addiert und subtrahiert werden. Dazu quadriert man die Summe oder Differenz und zieht daraufhin aus dem entstehenden Quadrat die Wurzel. Hierfür kommen die erste die zweite binomische Formel zum Einsatz.

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