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Bernoulli-Kette

Jakob I Bernoulli, ein im 17. Jahrhundert lebender Mathematiker und Physiker aus Basel (Schweiz) ist einer der Mitbegründer der Wahrscheinlichkeitstheorie und damit zugleich einer der Väter der modernen Stochastik.

Die Bernoulli-Kette ist eine Reihe von Versuchen, bei denen es nur zwei mögliche Ausgänge gibt: Wahr oder falsch, ja oder nein, 1 oder 0. Jeder dieser Versuche stellt eine Bernoulli-Verteilung dar, in denen zufällige Ereignisse beschrieben werden, beispielsweise das Werfen einer Münze oder würfeln, wobei nur die 6 als richtig, alle anderen 5 Zahlen als falsch gelten. Solche Aneinanderreihungen von Zufallsereignissen gibt es sehr häufig, nicht nur beim Münzwurf oder dem Würfeln.

In der Stochastik wiederum besteht unter anderem die Aufgabe, die Mindestwahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ergebnis (wahr oder falsch) vorauszuberechnen. Diese Mindestwahrscheinlichkeit kann nun mittels Brüchen berechnet werden, was jedoch voraussetzt, das jeder einzelne Versuch als Bruch dargestellt wird, was bei vielleicht hunderten oder auch tausenden Versuchen eine sehr langwierige Berechnung darstellt.

Beispiel:

Eine Urne enthält 5 schwarze und vier weiße Kugeln. In einem Bernoulli-Versuch wird 5-mal eine Kugel gezogen, die Farbe festgestellt und die Kugel wieder zurückgelegt. Hier geht es um die Mindestwahrscheinlichkeit, wie hoch der prozentuale Anteil ist, dass sich unter den 5 Ziehungen zwei weiße Kugeln befinden.

Dank der Bernoulli-Kette lässt sich die Mindestwahrscheinlichkeit einfach und schnell berechnen:

Der Rechenweg stellt sich folgendermaßen dar:

• p steht für die Wahrscheinlichkeit des Ereigniseintritts

• n steht für die Anzahl an Versuchen (Bernoulli-Kette)

• k ist die Treffer-Anzahl, die erzielt werden soll

• P(X=k) besagt, dass die Wahrscheinlichkeit für die Treffer (k) berechnet werden soll

Fragen und Aufgaben zur Bernoulli-Kette

1. Ein Würfel wird 100-mal geworfen. Wie sieht die Mindestwahrscheinlichkeit für die folgenden zwei Ereignisse aus:

   A) Es wird höchstens 10-mal eine 6 geworfen

   B) Mindestens 20-mal wird eine Zahl größer als 2 geworfen

   Antwort:

   

2. Wenn eine Münze geworfen wird, wie oft muss sie geworfen werden, dass die Wahrscheinlichkeit 99 % beträgt, das sie mindestens einmal mit der Kopf-Seite oben liegen bleibt?

   Antwort:

   

3. Mit zwei Würfeln wird insgesamt 20-mal geworfen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass nie die Augensumme 6 geworfen wird?

   Antwort:

   

4. Ein Fußballer schießt mit dem Ball 20-mal auf eine Torwand mit einem Loch oben und einem Loch unten. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er bei 5 Versuchen beide Löcher trifft?

   Antwort:

   

5. Im Brettspiel „Mensch ärgere Dich nicht“ für 4 Personen darf jeder der Reihe nach zu Anfang 3-mal würfeln, doch nur mit einer geworfenen 6 kann der- oder diejenige Spielerin das Spiel beginnen. Wie oft muss ein Mitspieler drankommen, um mit einer über 95prozentigen Wahrscheinlichkeit herauszukommen?

   Antwort:

   

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