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Berechnung von Kugeln

Das Problem bei der Berechnung von Kugeln liegt darin, dass es weder Ecken noch Winkel oder Längen gibt, die als Maß genutzt werden wie etwa bei einem Quader, dessen Volumen sich aus Höhe * Breite * Länge zusammensetzt. Die Kugel bietet nur zwei „greifbare“ Maße, das ist zum einen der Umfang oder zum anderen der Durchmesser.

Berechnung von Kugeln
Wikipedia: Urheberlink: Von Ag2gaeh - Eigenes Werk, CC BY-SA 4.0,
https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=41627945

Das wichtigste mathematische Werkzeug zur Berechnung von Kugeln ist Pi oder die Kreiszahl = π = 3,14.

Mit deren Hilfe lassen sich nun Wahlweise aus dem Durchmesser der Umfang oder aus dem Umfang der Durchmesser berechnen.

Beispiel: An einer Kugel wurde ein Umfang von 40 cm gemessen:

D (Durchmesser) = 40 / 3,14 = 12,74 aufgerundet
Der Durchmesser der Kugel beträgt also 12,74 cm.
Umgekehrt lässt sich aus dem Durchmesser und Pi der Umfang berechnen, indem die Rechnung umgedreht wird: Durchmesser * Pi:
U (Umfang) = 12,74 * 3,14 = 40,0036

Radius

Über den Durchmesser lässt sich eine weitere wichtige Messgröße der Kugel erfassen, der Radius. Das geschieht einfach mittels rechnerischer Halbierung des Durchmessers, was in diesem Fall 12,74 / 2 = 6,37 ergibt.

Über den Radius kann nun wieder umgekehrt der Umfang berechnet werden:
U = 2 * 3,14 * 6,37 = 40,0036

Bei diesem Beispiel sind nun also schon drei Größen der Kugel bekannt:
Durchmesser 12,74 cm
Umfang 40 cm
Radius 6,37 cm

Oberfläche

Die nächste gesuchte Größe könnte die Oberfläche der Kugel sein. Die Oberfläche lässt sich aus den bekannten Größen errechnen:

O (Oberfläche) = 3,14 * 12,742 = ?

Wenn hinter einer Zahl eine weitere hochgestellte Zahl erscheint, bedeutet dies, dass diese Zahl so oft mit sich selbst multipliziert wird, wie die hochgestellte Zahl vorgibt. In diesem Fall bedeutet 12,742, das 12,74 einmal mit 12,74 multipliziert wird, also 12,74 * 12,74 = 162,30. Die Berechnung der Kugeloberfläche sieht dann so aus:

O = 3,14 * 162,30 = 509,62 oder 3,14 * 12,74 * 12,74 = 509,90 cm2

Die Oberfläche der Kugel beträgt also 509,62 Quadratzentimeter.

Es stehen also nun folgende Werte fest:
(D) Durchmesser 12,74 cm
(U) Umfang 40 cm
(R) Radius 6,37 cm
(O) Oberfläche = 509,90 cm2

Volumen

Wie viel Inhalt oder Volumen eine Kugel besitzt, kann ebenso von Interesse sein. Diesmal geht es nicht um Zentimeter oder Quadratzentimeter, sondern um Kubikzentimeter. Es wird also eine Zahl mit einer hoch gestellten 3 gesucht.

Die Formel hierzu sieht so aus:

V (Volumen) = (4/3) * π * r3
V = 4/3 * 3,14 * 6,373 = 1082,693
Das Volumen der Kugel beträgt 1082,69 Kubikzentimeter

Kreisfläche

Auch die Kreisfläche lässt sich mittels des Radius hoch 2 mal Pi berechnen: 6,37 * 6,37 * 3,14 = 127,41 cm2

So stehen nun die wichtigsten Maße einer Kugel mit einem messbaren Durchmesser oder einem Umfang zur Verfügung:

(D) Durchmesser 12,74 cm
(U) Umfang 40 cm
(R) Radius 6,37 cm
(O) Oberfläche = 509,90 cm2
(V) Volumen = 1082,69 cm3
(A) Kreisfläche = 127,41 cm2

Fragen und Aufgaben zur Berechnung von Kugeln

  1. Berechne die Oberfläche einer Kugel mit einem Durchmesser von 6 cm?

    Antwort:
    3,14 * 62 = 113,04
    O = 3,14 * 113,04 = 354,94 oder 3,14 * 6 * 6 = 113,04 cm2

  2. Berechne aus dem Radius von 4 cm den Umfang einer Kugel?

    Antwort: 4 * 2 * 3,14 = 25,12

  3. Eine Kugel besitzt einen Umfang von 80 cm, berechne den Radius der Kugel?

    Antwort: 80 : 3,14 : 2 = 12,73

  4. Eine Kugel besitzt eine Kreisfläche von 125 cm2, berechne den Durchmesser?

    Antwort: 125 : 3,14 : 3,14 = 12,61

  5. Wie kann das Volumen einer Kugel mittels eines Würfelvolumens berechnet werden?

    Antwort: Indem der Durchmesser der Kugel zur Berechnung eines Würfelvolumens mit einer Kantenlänge entsprechend dem Durchmesser aufgestellt und das Ergebnis halbiert wird

    Beispiel:
    Durchmesser der Kugel ist 12 cm.

    Ein Würfel mit Kantenlänge 12 cm besitzt ein Volumen von 1728 cm3, geteilt durch 2 = 864 cm3


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