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Bedingte Wahrscheinlichkeit

In der Mathematik sind bedingte Wahrscheinlichkeiten dem Teilbereich der Stochastik zugeordnet.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit (auch als konditionale Wahrscheinlichkeit bezeichnet) ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis A eintritt, wenn bekannt ist, dass ein anderes Ereignis B eintritt. Es wird als P (A | B) geschrieben. Die vertikale Linie sollte als "unter diesen Bedingungen" verstanden werden und sollte wie folgt zu verstehen sein: Wenn Ereignis B eintritt, ist die Möglichkeit auf das Ergebnis in B beschränkt. Die neue Wahrscheinlichkeit von Ereignis A ist durch P (A | B) gegeben. Wenn daher die Information erhalten werden kann, dass Ereignis B aufgetreten ist, kann die bedingte Wahrscheinlichkeit als eine Neubewertung der Wahrscheinlichkeit von A interpretiert werden. Manchmal wird auch das Symbol P_B (A) verwendet, aber es kann auch andere Bedeutungen haben.

Warum eine bedingte Wahrscheinlichkeit erstellen?

Manchmal möchte untersucht werden, wie stark eine Variable einen statistischen Effekt auf eine andere Variable hat. Sie möchten beispielsweise wissen, ob Rauchen (R) Krebs verursacht (K). Die logische Implikation würde erfordern, dass die Schlussfolgerung R? K für alle Situationen gilt, das heißt, jeder Raucher hat Krebs. Ein Raucher, der keinen Krebs hat, fälscht die Aussage, dass "Rauchen Krebs mit einem logischen und bestimmten Grad verursacht" oder "jeder Raucher wird Krebs bekommen". Obwohl es Raucher gibt, die keinen Krebs haben, besteht ein statistischer Zusammenhang zwischen den beiden Ereignissen: Raucher entwickeln eher Krebs. Diese Wahrscheinlichkeit ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P (K | R) einer krebskranken Person, sofern sie Raucher ist. Es ist jetzt auch möglich, die Wahrscheinlichkeit, dass jemand raucht, wenn er Krebs hat, nach dem Zufallsprinzip zu überprüfen. Bei Wahrscheinlichkeitsberechnungen ist zu beachten, dass der Begriff Bedingung nicht mit Kausalität oder Zeitbeziehung zusammenhängt. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie stark der statistische Einfluss von R auf K ist. Sie kann als zufälliges Maß für die Wahrscheinlichkeit der Schlussfolgerung R⇒ K angesehen werden. Wie bei allen Statistiken wird jedoch die mögliche Kausalität der Verbindung nicht berücksichtigt.

Für diese Motivation wurde sich die folgende Definition ausgedacht:

Sind nun A und B beliebige Ereignisse und P (B) > 0 ist, so wird angenommen, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit von A wenn B (auch: die Wahrscheinlichkeit von A unter Bedingung B) als P (A | B) (der vertikale Strich zwischen A und B) wie folgt definiert:

(∩ ist das math. Symbol für Durchschnittsmenge)

Die Wahrscheinlichkeit P(A ∩ B) ist darin enthalten, das A und B zusammen erscheinen. Hierbei wird P(A ∩ B) als gemeinsame Wahrscheinlichkeit, Schnittwahrscheinlichkeit oder Verbundwahrscheinlichkeit bezeichnet. A ∩ B ist dabei der mengentheoretische Schnitt zu den Ereignissen A und B.

Abhängig vom Grad der Überlappung zweier Ereignisse A und B, und folglich deren Schnittmenge A ∩ B, kann der Eintritt des Ereignisses B zugleich die Wahrscheinlichkeit erhöhen oder verringern, das ebenso A eintritt, und zwar bis hin zu 1 (A tritt fast sicher ein) oder bis 0 (A tritt fast sicher nicht ein).

Beispiel: Das jemand, der Deutsch spricht, auch Deutscher ist, kann genauso wahrscheinlich oder unwahrscheinlich sein wie die Annahme, das ein Deutscher auch Deutsch spricht. Beide Wahrscheinlichkeiten ergänzen sich auch nicht zu 100 %. Es sind beides bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Fragen und Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit

1. In der Klasse einer Schule sind 25 Schüler, 10 Jungen sowie 15 Mädchen. Vier von den Jungen sind blond wie auch drei der Mädchen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer zufälligen Auswahl unter den Jungen, ein blonder Junge gewählt wird?

   Antwort: P_J(B) = P(B ∩ J) / P(J) = 0,16 / 0,4 = 0,4

   Voraussetzung für das Ergebnis ist die Berechnung der mengenmäßigen Anteile an blonden Jungen in der Klasse:

   P(B ∩ J) = 4 / 25 = 0,16

2. Ein in einer Großstadt lebender Sportler möchte für einen Marathon trainieren. Allerdings ist bekannt, das an 4 Tagen im Jahr die Luftverschmutzung (L) so hoch ist, das vom Sport treiben im Freien abgeraten wird. Die Vorhersage für die täglichen Werte der Luftverschmutzung ist zu 99 % korrekt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem zufällig gewählten Tag die Luftverschmutzung zu hoch ist?

   Antwort: P (L) = 4 / 365 ≈ 0,01096

3. Was ist der „Satz von Bayes“?

   Antwort: Der englische Mathematiker und Statistiker Thomas Bayes erstellte im 18. Jahrhundert unter anderem den nach ihm benannten Satz von Bayes, der wohl wichtigste mathematische Lehrsatz in der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Berechnung bedingter Wahrscheinlichkeiten. Die Formel lautet:

   

4. Wo findet der Satz von Bayes Anwendung, nenne drei Beispiele?

   Antwort:
   Statistik
   Data-Mining
   Spamerkennung
   Künstliche Intelligenz
   Qualitätsmanagement
   Bioinformatik
   Kommunikationstheorie
   Ökonometrie
   Neurowissenschaften
   Entscheidungstheorie
   Verkehrsverteilung (Grundmodelle)

5. Hans ist in 10 % seiner Lebenszeit hungrig. In 2 % seiner Lebenszeit knurrt sogar sein Magen. Wenn das der Fall ist, hat er auch zu 90 % Hunger. Wenn Hans jetzt hungrig ist, wie wahrscheinlich ist es, dass sein Magen knurrt?

   Antwort:
   P(H) = 0,1; P(K) = 0,02; P_K(H) = 0,9

   P_H(K) = P_K(H) * P(K) / P(H) = 0,9 * 0,02 / 0,1 = 0,18

   Die Wahrscheinlichkeit beträgt 18 %, das der Magen von Hans knurrt.

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