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Arithmetische Mittel

Umgangssprachlich wird das arithmetische Mittel auch als Durchschnitt bezeichnet. Das arithmetische Mittel kommt sehr häufig in der Statistik vor. Mathematisch gesehen ist es ein sogenannter Lageparameter. Das bedeutet, dass mit dem arithmetischen Mittel eine Kennzahl erstellt wird, die in einem Datensatz eine Tendenz zum Ausdruck bringt. Im einfachsten Fall ergibt sich das arithmetische Mittel durch die Teilung der Summe durch die Anzahl der vorhandenen Zahlen:

Beispiel: 1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 : 9 = 5

In diesem einfachen Beispiel ist das arithmetische Mittel die Zahl 5 und stimmt zudem mit dem sogenannten Median überein. Das aber ist beim arithmetischen Mittel nicht immer der Fall. Sehr oft ist das arithmetische Mittel zwar ein rechnerisch richtiger Wert, er trifft aber sehr oft eine unklare oder auch falsche Aussage über den tatsächlichen Mittelwert einer Zahlenreihe. Das erklärt sich dadurch, dass in einer Zahlenreihe vereinzelte hohe oder niedrige Zahlen den gesamten Durchschnittswert so stark verfälschen können, dass er nicht den tatsächlich häufigsten Zahlen entspricht. Wenn die obige Zahlenreihe entsprechend verändert wird, ergibt sich ein völlig anderer Durchschnittswert,

Beispiel: 1 + 2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 28 + 9 = 65 : 9 = 7,22

Das arithmetische Mittel befindet sich nun nicht mehr in der Mitte der Zahlenreihe, sondern im oberen Drittel. Das mediane Mittel hingegen ist nach wie vor die 5.

Je größer eine Zahlenreihe innerhalb einer Statistik ist, desto ungenauer wird das arithmetische Mittel. Ein Beispiel dafür ist das Durchschnittsgehalt in Deutschland, das nach der Statistik im Jahr 2019 bei 47.928 Euro über alle Berufe und Regionen beträgt. Alle Einkommen werden durch die Summe der Arbeitnehmer geteilt. Das ist jedoch wenig Aussagekräftig, weil die Einkommensverteilung bei über 40 Millionen Arbeitnehmern sehr unterschiedlich ist. Der Median zeigt ein mittleres Einkommen von 36.000 Euro. Das sind fast 1000 Euro pro Monat weniger als der Durchschnittswert, das arithmetische Mittel, anzeigt.

Trotzdem ist das arithmetische Mittel in der Statistik wie in der Stochastik ein wichtiges Werkzeug:

Die Summe aller Werte entspricht dem arithmetischen Mittel, der Variablen X geteilt durch n, der Summe der Gesamtzahl. Das arithmetische Mittel entspricht dem Wert, der sich dann ergibt, wenn alle Werte der Variablen summiert auf alle Zahlen verteilt ist. Beispiele: Das Durchschnittsalter entspricht dem sich ergebenden Alter, wenn die Summe aller Altersjahre gleichmäßig auf die Probanden verteilt wird. Um die Summe aller Werte berechnen zu können, muss es sich um eine metrische Variable handeln (siehe "Messstufe"). Im Gegensatz zu allen anderen Maßen der zentralen Tendenz hängt das arithmetische Mittel von der Größe jedes Variablenwerts ab. Wenn die Verteilung einige extrem große oder kleine Werte enthält, verschiebt sich das arithmetische Mittel durch diese Extremwerte nach oben oder unten.

Daher soll das arithmetische Mittel keine robuste Statistik gegen sogenannte Ausreißer in den Daten sein. Seine Berechnung kann auch zu Ergebnissen führen, die bei Variablen, die nur ganzzahlige Werte annehmen, kein signifikantes empirisches Äquivalent haben. Beispiel: Das durchschnittliche finanzielle Vermögen deutscher Staatsbürger in den ehemaligen Bundesländern betrug 1993 etwa 63.000 Mark. Dieser erstaunlich hohe Wert ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass einige wenige über sehr bedeutende Vermögenswerte verfügen. 1998 bestand ein privater Haushalt in den alten Staaten aus durchschnittlich 2,2 Personen, was nicht bedeutet, dass es ein Fünftel Personen gab. Dieses Maß kann jedoch sinnvoll für Vergleiche herangezogen werden: Für das Jahr 1900 liegt der Durchschnittswert beispielsweise bei 4,5 und weist darauf hin, dass um die Jahrhundertwende erheblich mehr Menschen in einem Haushalt lebten. Umgangssprachlich wird das arithmetische Mittel oft einfach als Mittelwert oder Durchschnitt bezeichnet. In der statistischen Literatur wird der Begriff Mittelwert jedoch als Oberbegriff für mehrere Maße der zentralen Tendenz einer Verteilung verwendet.

Fragen und Aufgaben zum arithmetischen Mittel

  1. Was ist eine kumulierte Häufigkeit?

    Antwort: In der Statistik wird die kumulierte Häufigkeit genutzt, um ein bestimmtes Merkmal hervorzuheben. Beispiel: In einer Schule werden Daten so erfasst, das die Statistik anzeigt, wie viele Schüler bei einer Klausur besser als mit der Note 4 abgeschnitten haben.

  2. Errechne das arithmetische Mittel folgender Tabelle?

    Datenwerte arithmetische Mittel

    Antwort: (1,71 * 2) + (1,72 * 5) + (1,73 * 3) + (1,98 * 4) + (2,30 * 2) + (2,45 * 4) + (2,79 * 3) = 47,9 kg als Gesamtgewicht aller Stücke
    Im Schnitt pro Stück: 47,9 / 23 = 2,08 kg

  3. Wie stellt sich das mediane Mittel aus der Tabelle der vorhergehenden Frage dar?

    Antwort:
    1,71
    1,71
    1,72
    1,72
    1,72
    1,72
    1,72
    1,73
    1,73
    1,73
    1,98
    1,98
    1,98
    1,98
    2,30
    2,30
    2,45
    2,45
    2,45
    2,45
    2,79
    2,79
    2,79

    Das mediane Mittel beträgt 1,98 Kg

  4. Was ist das getrimmte arithmetische Mittel?

    Antwort: In der sogenannten deskriptiven Statistik stellt ein getrimmtes arithmetisches Mittel oder auch der getrimmte Mittelwert einen Lageparameter dar. Hier werden beispielsweise Zahlen mit Nachkommastellen auf ganze Zahlen abgerundet, was in einer laufenden statistischen Erstellung ein genaueres Stichprobenelement ergibt.

  5. Was ist die Stochastik?

    Antwort: Die Stochastik ist ein Teilgebiet der Mathematik und fasst die mathematische Statistik und die Wahrscheinlichkeitstheorie zusammen.


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