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Äquivalenzumformungen

Äquivalenzumformung ist eine der wichtigsten Methoden zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen in der Mathematik. Bei der Äquivalenzumformung bleibt der Wahrheitswert aber immer unverändert. Äquivalenzumformungen können durch Anwendung der inversen Operation wieder rückgängig gemacht werden.

Fragen zu Äquivalenzumformungen

  1. Die Äquivalenzumformung ist die Addition oder Subtraktion eines Terms auf beiden Seiten, aber auch die Multiplikation und Division? Wann darf die Division und Multiplikation als Äquivalenzumformung nicht durchgeführt werden?

    Die Multiplikation oder Division eines Terms auf beiden Seiten der Gleichung, solange dieser ungleich 0 ist, kann im Rahmen der Äquivalenzumformung angewendet werden.

  2. Äquivalenzumformungen von Ungleichungen muss das Inversionsgesetz angewendet werden. Was sagt dieses Gesetz aus?

    Bei Ungleichungen ist nach dem Inversionsgesetzt zu beachten, dass nach der Multiplikation bzw. Division durch eine negative Zahl die Ordnungsrelation die Richtung ändert.

  3. Bei der Anwendung von Äquivalenzumformungen kann addiert, subtrahiert, multipliziert oder auch dividiert werden? Was wird bei solchen Rechengängen hinter dem Arbeitsstrich angegeben?

    Bei der Äquivalenzumformung werden beide Seiten einer Gleichung mit der selben Variable verrechnet. Hinter dem Arbeitsstrich werden immer die Rechenart und die Variable angegeben, mit welcher man die Umformung gerade durchführt.

  4. Bei der Äquivalenzumformung kann es sein, dass nach Bearbeitung der Gleichung zum Schluss eine unwahre Aussage erhalten wird. Was bedeutet dies?

    Dies bedeutet, dass die Lösungsmenge für die Gleichung leer ist.

  5. Am Ende einer Äquivalenzumformung einer Gleichung steht 5=5. Was bedeutet dies für die Lösungsmenge?

    Es wurde eine wahre Aussage erhalten, die unabhängig von einer Variablen ist, also dürfen für die Variable jede beliebige Zahl eingesetzt werden, somit gibt es unendlich viele Möglichkeiten. Die Lösungsmenge beinhaltet also den gesamten Zahlenbereich.

  6. Was versteht man unter einer äquivalenten Gleichung?

    Zwei Gleichungen sind zueinander äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben. Zum Beispiel sind die Gleichungen 2x + 7 =13 und x=3 äquivalent zueinander.

  7. Im Rahmen der Äquivalenzformung kann es auch nützlich sein, einen Kehrwert auf beiden Seiten der Gleichung zu bilden, falls die Variable im Nenner eines Bruchs steht. Wann darf dies aber nicht erfolgen?

    Das Bilden des Kehrwerts ist genau dann eine Äquivalenzumformung, wenn auch nach dem Umformen keine 0 in irgendeinem Nenner steht.


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