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Ableitungsformeln

Ableitungsformeln sind eigentlich Ableitungsregeln oder auch Ableitungsfunktionen und diese wiederum sind in den Grundregeln der Differentialrechnung, in der Kettenregel, zusammengefasst.

Die Kettenregel gibt eine Aussage über die Ableitung einer Funktion ab, die als eine Reihe von zwei differenzierbaren Funktionen ausgedrückt werden kann. Die Schlüsselinformation der Kettenregel ist, dass eine solche Funktion selbst differenzierbar ist und ihre Ableitung erhalten wird, indem zwei verknüpfte Funktionen abgeleitet und an den richtigen Positionen multipliziert werden. Die Kettenregel kann als eine Funktion zusammengefasst werden, die eine Reihe von zwei oder mehr unterscheidbaren Funktionen ausdrückt. Solche Funktionen sind auch differenzierbar, und ihre Ableitungen werden durch Multiplizieren der Ableitungen aller verschachtelten Funktionen erhalten. Kettenregeln bilden einen Sonderfall mehrdimensionaler Kettenregeln für eindimensionale Situationen.

Ableitungsfunktion

Die mit f '(x₀) bezeichnete Funktionsableitung an der differenzierbaren Funktion f: U → R am Punkt x₀ beschreibt das Verhalten der Funktion in der Nähe des betrachteten Punktes x₀. Jeder Punkt eines Funktionsgraphen kann linearisiert werden. Dies ermöglicht die Definition einer Ableitungsfunktion (oder kurz Ableitung) f ': U → R, die jedem Element der Domäne U der ursprünglichen Funktion f die Linearisierungssteigung zuweist. In diesem Fall sagen wir "f ist in U differenzierbar". Zum Beispiel verknüpft die Quadratfunktion f: R → R mit f (x) = x^² an jedem Punkt x₀ die Ableitung f '(x₀) = 2 x₀. Die Quadratfunktion ist auf der Menge der reellen Zahlen differenzierbar. Die entsprechende Ableitungsfunktion f'ist gegeben durch f ': R → R, wobei f' (x) = 2x ist. Die abgeleitete Funktion unterscheidet sich normalerweise von der ursprünglich betrachteten Funktion. Die einzige Ausnahme ist die natürliche Exponentialfunktion und ein beliebiges Vielfaches von K ∈ ℝ x → k·ex, wobei, wie durch Auswahl von k = e^-a gezeigt, alle Funktionen mit ∈ℝ x→e^x-a enthalten sind. Wenn die Ableitung stetig ist, heißt f stetig differenzierbar. Basierend auf der Bezeichnung C (U), der Summe (Raum) stetiger Funktionen, deren Definitionssatz U ist, wird der Raum von Funktionen, der auf U kontinuierlich differenziert werden kann, als C 1 (U) abgekürzt.