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Ableitung (Analysis)

Der Begriff Ableitung ist ein Teil der Analysis, die wiederum ein Teilgebiet der Mathematik darstellt. Die Grundlagen für die Ableitung wie auch die Analysis schufen Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz mit der Infinitesimalrechnung. Die Ableitung ist im Übrigen eine Form der Differentialrechnung, die in die analytische Funktion eingegliedert ist.

Was ist die analytische Funktion?

In der Mathematik ist die Analyse eine Funktion, die lokal durch eine Potenzreihe gegeben ist. Aufgrund des Unterschieds zwischen reeller Analyse und komplexer Analyse werden aus Gründen der Klarheit häufig explizite reale oder komplexe Analysefunktionen erwähnt. Im Komplex sind diese Eigenschaften analytisch und isomorph äquivalent. Wenn eine Funktion auf der gesamten Komplexitätsebene definiert und analysiert wird, wird sie als Ganzes bezeichnet.

Differentialrechnung

Die Differenzierung ist in der Mathematik ein Attribut einer Funktion, die lokal und linear um einen Punkt eindeutig angenähert werden kann. Der Begriff "Unterscheidbarkeit" wird nicht nur für reelle Funktionen auf der Menge reeller Zahlen erklärt, sondern auch für Funktionen komplexer Zahlenfunktionen oder mehrerer Variablen sowie Zuweisungen zwischen komplexen Vektorräumen oder reellen Zahlen und viele andere Arten von Abbildungen und Funktionen . Bestimmte Arten von Funktionen (z. B. Funktionen mit mehreren Variablen) haben mehrere unterschiedliche Differentialterme.

Ableitung oder Differenzierung in der Analysis

Die differenzierbare Funktion f’(x0) am Punkt x0: U → R, die mit f '(x0) bezeichnete Funktionsableitung beschreibt die Verhaltensweise der Funktion Nahe des betrachteten Punktes x0. Jeder Punkt des Funktionsdiagramms kann linearisiert werden. Dies ermöglicht es, eine Ableitungsfunktion (oder kurz Ableitung) f 'zu definieren: U → R, die jedem Element der Domäne U der ursprünglichen Funktion f die Linearisierungssteigung zuweist. In solchen Fällen sagen wir "f ist in U differenzierbar". Zum Beispiel ist die Quadratfunktion f: R → R an jedem Punkt x0 mit f (x) = x2 verbunden, und die Ableitung f '(x0) = 2 x 0. Die Quadratfunktion lässt sich auf der Menge der reellen Zahlen differenzieren. Die entsprechende Ableitungsfunktion f ' ist gegeben durch f ': R → R, wobei f' (x) = 2x. Abgeleitete Funktionen unterscheiden sich normalerweise von den ursprünglich betrachteten Funktionen. Die einzige Ausnahme ist die natürliche Exponentialfunktion und ein beliebiges Vielfaches von K∈ℝx→k·ex-, wie durch Auswahl von k = e-a gezeigt, das alle Funktionen mit ∈ℝx→ex-a enthält. Wenn die Ableitung stetig ist, heißt f stetig differenzierbar. Basierend auf dem Symbol C (U) wird der Satz als die Summe (Raum) der stetigen Funktionen von U definiert, und der Raum der Funktionen, die auf U kontinuierlich differenziert werden können, wird als C 1 (U) abgekürzt.

Geschichte der Differentialrechnung

Die Aufgabe der Differentialrechnung ist ein seit dem 17. Jahrhundert bestehendes tangentiales Problem der damaligen Mathematik. Eine naheliegende Lösung besteht darin, die Tangente der Kurve durch eine Sekante innerhalb eines begrenzten Bereichs (hier bedeutet endlich: größer als Null) zu approximieren, aber das Intervall ist beliebig kleiner. Dabei müssen technische Schwierigkeiten überwunden werden, um mit einer so unendlich kleinen Intervallbreite zu rechnen. Die frühesten Ursprünge des Kalküls lassen sich auf Pierre de Fermat zurückführen. Um 1628 entwickelte er eine Methode, um die Pole algebraischer Terme zu bestimmen und die Tangenten konischer und anderer Kurven zu berechnen. Seine "Methode" ist rein algebraisch. Fermat hat keine Grenzübergänge gesehen und sicherlich keine Derivate. Trotzdem kann seine "Methode" immer noch mit modernen analytischen Mitteln erklärt und bewiesen werden, was offensichtlich Mathematiker wie Newton und Leibniz inspirierte. Einige Jahre später entschied sich René Descartes für eine andere algebraische Methode, indem er der Kurve Kreise hinzufügte. Dies schneidet die Kurve an zwei Punkten, die nahe beieinander liegen, es sei denn, es trifft die Kurve. Mit dieser Methode kann er den Gradienten der Tangente einer bestimmten Kurve bestimmen. Ende des 17. Jahrhunderts entwickelten Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz unabhängig voneinander erfolgreich widerspruchsfreie Kalküle.

Fragen und Aufgaben zur Ableitung bzw. Differentialrechnung

1. Wie ist die Ableitung von: f(x) = 3 √ x + 4x

   Antwort: f’(x) = 3*0,5x0,5-1+4 = 1,5x-05+4

2. Die Ableitung von f(x) = (2x+5)¹³

   Antwort: f’(x) = 13 * (2x+5) ¹² * 2

3. Löse mit der Produktregel bzw. der Leibnizregel f(x) = x²*(x³+2x+3)

   Antwort: f’(x) = 2x*(x³+2x+3) + x² (3x²+2)

4. Die Ableitung aus f(x) = 2x²

   Antwort: f’(x) = 4x

5. Die Ableitung aus: f(x) = 5x³ + 4

   Antwort: f’(x) = 15x²

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