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Gebrochen-rationale Funktionen

Die gebrochen-rationale Funktion zeichnet sich dadurch aus, dass sowohl im Zähler als auch im Nenner jeweils ganzrationale Funktionen zu finden sind. Hier können u. a. lineare Funktionen, aber auch quadratische Funktionen zum Einsatz kommen.

Fragen zu gebrochen-rationale Funktionen

1. Was versteht man unter dem Zählergrad und dem Nennergrad?

   Als Zählergrad einer Funktion bezeichnet man die höchste Potenz, die im Zähler dieser Funktion vorkommt. Dementsprechend versteht man unter dem Nennergrad einer Funktion die höchste Potenz, die in deren Nenner vorkommt.

2. Welche Möglichkeiten gibt es an Stellen, an den eine Funktion nicht definiert ist?

   An nicht definierten Stellen der Funktion gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten. Einerseits kann der Graph eine hebbare Definitionslücke besitzen, andererseits kann er sich immer mehr einer parallel zur Y-Achse verlaufenden Geraden annähern. Im letztgenannten Fall spricht man von einer senkrechten Asymptote. In diesem Fall besitzt die Funktion eine Unendlichkeitsstelle, die auch als Pol bezeichnet wird.

3. Was ist eine Definitionslücke in einer gebrochen-rationalen Funktion?

   Unter einer Definitionslücke in einer gebrochen-rationalen Funktion versteht man einen nicht definierten Bereich in der Funktion, der dadurch entsteht, dass der Nenner Null wird.

4. Was sind die Asymptoten?

   Geht x gegen unendlich, kann sich der Graph der Funktion immer mehr einer Geraden annähern. Diese Gerade kann entweder parallel oder auch schief zur X-Achse verlaufen und wird Asymptote genannt. Je nachdem, wie die Gerade zur X-Achse verläuft, nennt man sie „waagerechte Asymptote oder auch „schiefe Asymptote“.

5. Was versteht man unter einer Polstelle?

   Eine sogenannte Polstelle ist eine Definitionslücke in einer gebrochen-rationalen Funktion, in deren Nähe die Funktionswerte gegen Unendlich laufen.

6. Wodurch werden die Nullstellen einer gebrochen-rationalen Funktion bestimmt?

   Die Nullstellen der gebrochen-rationalen Funktion werden grundsätzlich durch die Nullstellen der Zählerfunktion bestimmt. Diese gehören zum Definitionsbereich der gesamten Funktion.

7. Welche Regel wird zum Ableiten von gebrochen-rationalen Funktionen angewendet?

   Um gebrochen-rationale Funktionen ableiten zu können, wendet man in den meisten Fällen die Quotientenregel an. Falls die Nennerfunktion eine Potenz eines Binoms darstellt, kann zusätzlich auch noch die Kettenregel angewendet werden.

8. Wie sollte eine gebrochen-rationale Funktion vor dem Ableiten behandelt werden?

   Vor dem Ableiten einer gebrochen-rationalen Funktion empfiehlt es sich, für den Funktionsterm die Polynomdivision anzuwenden und diesen entsprechend umzuschreiben. Der übrige gebrochen-rationalen Kern kann dann entsprechend gekürzt werden.

9. Welchen Spezialfall gibt es bei gebrochen-rationalen Funktionen?

   Wenn eine reelle Zahl gleichzeitig die Nullstelle des Zählerpolynoms und auch des Nennerpolynoms ist, ergibt sich bei einer gebrochen-rationalen Funktion ein Spezialfall. In diesem Fall kann der Funktionsterm einfach oder mehrfach gekürzt werden.

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