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Winkel im Dreieck

Das Dreieck ist eine der meist berechneten geometrischen Figuren. In der euklidischen Geometrie gilt das Dreieck als einfachste Figur in der Ebene, die von geraden Linien begrenzt wird. Diese Begrenzungslinien nennt man Seiten. Im Inneren des Dreiecks findet man drei Winkel, die sogenannten Innenwinkel auf. Die Scheitel dieser Winkel bezeichnet man als Eckpunkte des Dreiecks.

Fragen zu Winkel im Dreieck

  1. Ein Dreieck besitzt drei Innenwinkel und drei Außenwinkel. Wieviel Grad beträgt die Summe der einzelnen Winkelarten?

    Die Summe der drei Innenwinkel in einem Dreieck beträgt immer 180°, wohingegen die Summe der Außenwinkel 360° beträgt. Dabei wird für jeden Eckpunkt nur ein Außenwinkel in die Summe aufgenommen. Da es sich bei den beiden Außenwinkeln eines Eckpunktes um Scheitelwinkel handelt, sind diese immer gleich groß. Die Summe aller Außenwinkel beträgt also eigentlich 2 x 360° = 720°.

  2. Wie lautet die sogenannte Dreiecksungleichung, die das Verhältnis der einzelnen Seiten eines Dreiecks zueinander beschreibt?

    Die Dreiecksungleichung lautet: Die Gesamtlänge zweier Seiten eines Dreiecks ist immer größer oder gleich groß als die Länge der dritten Seite. Formal lässt sich das Verhältnis folgendermaßen beschreiben: Im Dreieck ist die Summe der Längen zweier Seiten a und b stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite c.

  3. In der Geometrie werden die Eckpunkte eines Dreiecks mit A, B und C bezeichnet, und im Dreieck gegen den Uhrzeigersinn zugeordnet. Wie werden die entsprechenden Winkel bezeichnet und zugeordnet?

    Die Winkel werden mit den griechischen Buchstaben a, ß und ? bezeichnet. Bei der Zuordnung werden die Winkel entsprechenden Eckpunkten zugeordnet, hier gilt: a ist der Winkel am Eckpunkt A, ß liegt am Eckpunkt B und ? liegt am Eckpunkt C.

  4. Wie ist der Umkreis eines Dreiecks definiert?

    Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Der Umkreis ist ein Kreis, der durch die drei Eckpunkte des Dreieckes verläuft. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten; welche Lotgeraden durch die Mittelpunkte der Seiten sind.

  5. Ein Dreieck besitzt drei Seiten und drei Innenwinkel. Als Kongruenzsatz bezeichnet man in der ebenen Geometrie Aussagen, anhand derer sich einfach die Kongruenz von Dreiecken nachweisen lässt. Wie lautet der dritte Kongruenzsatz?

    Der dritte Kongruenzsatz lautet: Zwei Dreiecke, die in einer Seitenlänge und in den dieser Seite anliegenden Winkeln übereinstimmen, sind kongruent. Desweitern gilt auch: Zwei Dreiecke, die in einer Seitenlänge, einem dieser Seite anliegenden Winkel und dem dieser Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen, sind kongruent.

  6. Nicht zwingend kongruent sind zwei Dreiecke, die in zwei Winkeln und in einer Seitenlänge übereinstimmen, wenn nicht bekannt ist, welche der gegebenen Winkel an der gegebenen Seite anliegen. Wie viele nicht kongruente Dreiecke können an Hand der Angaben ermittelt werden?

    Aus den Angaben zu einer Seite und zwei Winkeln können drei nicht kongruente Dreiecke konstruiert werden, je nachdem ob der erste, zweite oder beide Winkel der Seite anliegen.

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