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Grundlagen von Ungleichungen

Als Ungleichungen bezeichnet man einen Gegenstand der Mathematik, mit dessen Hilfe Größenvergleiche angestellt und untersucht werden können. Eine Ungleichung enthält zwei Terme, die mit folgenden Zeichen verbunden sein können:

< (Kleiner-Zeichen)
≤ (Kleinergleich-Zeichen)
≥ (Größergleich-Zeichen)
> (Größer-Zeichen)

Fragen zu Ungleichungen

  1. Warum gelten Ungleichungen als Aussageformen?

    Ungleichungen sind Aussageformen, da die auf den beiden Seiten einer Ungleichung vorkommenden funktionalen Terme meist Variablen enthalten, die stellvertretend für die Elemente aus dem Definitionsbereich der jeweiligen Terme stehen. Ersetzt man nun die Variablen durch fixe Elemente der jeweiligen Definitionsbereiche, dann entstehen Aussagen, die entweder wahr oder falsch sind.

  2. Warum sollten Ungleichungen in äquivalente Gleichungen umgeformt werden?

    Sind Ungleichungen äquivalent, besitzen sie die gleichen Lösungsmengen. Sie müssen daher zunächst umgeformt werden, damit man sie anschließend lösen kann.

  3. Welche Regel gilt für die Multiplikation und Division von Ungleichungen?

    Bei der Multiplikation oder Division mit einer reellen Zahl, die größer als Null ist, bleiben die Vergleichszeichen erhalten. Bei der Multiplikation oder Division mit einer reellen Zahl, die kleiner als Null ist, kehren sich die Zeichen um.

  4. Was passiert beim Anwenden einer streng monotonen Funktion mit einer Ungleichung?

    Wird eine streng monotone Funktion auf beiden Seiten der Ungleichung angewendet, erhält man eine Ungleichung mit exakt der gleichen Lösungsmenge wie die Ausgangsungleichung.

  5. Welche Aussage gilt für die Addition und Subtraktion bei Ungleichungen?

    Generell gilt für Ungleichungen: Es dürfen auf beiden Seiten die gleichen Terme addiert oder subtrahiert werden, ohne dass sich dadurch die Lösungsmenge der Ungleichung ändert.

  6. Wie lautet die sogenannte Dreiecksungleichung?

    Die sogenannte Dreiecksungleichung besagt dass in einem Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten a und b stets mindestens so groß ist, wie die Länge der dritten Seite c.

  7. Welche Frage muss zunächst geklärt werden, um eine Ungleichung lösen zu können?

    Um eine Ungleichung lösen zu können, muss zunächst die Frage beantwortet werden, ob und - wenn ja - welche Elemente der Definitionsbereiche eine wahre oder falsche Aussage liefern, wenn sie in die entsprechenden Terme eingesetzt werden.

  8. Welche Technik wird angewendet, um bei einer Ungleichung die Lösungsmenge zu finden?

    Eine wichtige Technik zum Finden der Lösungsmenge ist das Umformen der Ungleichung, so dass sie eine einfachere Form annimmt und damit berechnet werden kann.


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