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Faktorisieren

Unter der Faktorisierung versteht man in der Mathematik die Zerlegung eines Wertes in eine Anzahl von nichttrivialen Faktoren. So kommt das Faktorisieren beispielsweise im Bereich der Zahlentheorie als spezielles Faktorisierungsverfahren zum Einsatz, womit das sogenannte Faktorisierungsproblem gelöst werden soll.

Quizfragen zur Mathematik: Faktorisieren

1. Wo kommt das Faktorisieren in der Algebra zum Einsatz?

   Das Verfahren der Faktorisierung kann in der Algebra vielfach angewendet werden. So lassen sich beispielsweise entsprechende Terme durch die Anwendung der binomischen Formeln und durch Ausklammern faktorisieren, was die Berechnung einfacher macht.

2. Bei welchen mathematischen Körpern gibt es immer eine Faktorisierung?

   Jeder mathematisch vollständige Körper in der Algebra besitzt eine Faktorisierung, und zwar in Form der Linearfaktoren. Auch Polynome lassen sich grundsätzlich faktorisieren..

3. Wo kommt die Faktorisierung einer Matrix zur Anwendung?

   Wenn lineare Gleichungssysteme mithilfe der sogenannten Dreieckszerlegung berechnet werden sollen, kommt die LR-Zerlegung zum Einsatz, bei der die Matrix in Faktoren zerlegt wird.

4. Wozu benutzt man die Faktorisierung in der Wahrscheinlichkeitstheorie?

   In der Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Faktorisierung zum Zerlegen einer Zufallsvariablen in unabhängige Summanden genutzt. Dies ist möglich, da sich die Funktion einer Summe von unabhängigen Zufallsvariablen saus den einzelnen charakteristischen Funktionen ergibt.

5. Wie kommt die Faktorisierung in der sogenannten Graphentheorie zum Einsatz?

   Zerlegt man einen Graphen in mehrere Teilgraphen, bei denen jeder Knoten eine festgelegte Anzahl von Nachbarknoten hat, so bezeichnet man dieses Verfahren ebenfalls als Faktorisierung. Die entsprechenden Ergebnisse der Berechnung werden dann als Faktoren bezeichnet.

6. Was ist das Faktorisierungsproblem?

   Als Faktorisierungsproblem bezeichnet man eine Aufgabenstellung im Bereich der Zahlentheorie. In dieser Aufgabe soll ein nicht trivialer Teiler zu einer zusammengesetzten Zahl ermittelt werden. Die entsprechenden Algorithmen, mit denen diese Rechnung angestellt werden kann, bezeichnet man zusammengenommen als Faktorisierung.

7. Wie hängt das Faktorisierungsverfahren mit der Kryptographie zusammen?

   Da es bis heute kein effektives Verfahren gibt, um eine große Zahl mit mehreren hundert Stellen zu faktorisieren, benutzt man das Faktorisierungsverfahren für die Verschlüsselung großer Zahlen. Man spricht dabei auch von den sogenannten RSA-Kryptosystemen.

8. Wie geht man heute in der Praxis vor, um eine Zahl zu faktorisieren?

   Zunächst wird versucht, durch eine Probedivision kleine Faktoren zu finden bzw. zu entfernen. Anschließend wird der Primzahltest angewendet, um herauszufinden, ob es sich bei der Zahl um eine Primzahl handelt. Zusätzlich kann mit den elliptischen Kurven nach kleinen Primfaktoren gesucht werden. Anschließend wird die Zahl mithilfe des quadratischen Siebs oder des Zahlkörpersiebs faktorisiert.

9. Wie wird die Probedivision durchgeführt?

   Bei einer Probedivision wird der Wert zunächst durch alle Primzahlen dividiert, beginnend mit der Zahl 2. Dies wird solange fortgeführt, bis sich eine Primzahl als der Teiler des Wertes erweist.

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